第1章 問題求解 1
1.1 問題求解 1
1.1.1 喬治?波利亞解題法 1
1.1.2 解題策略 2
1.1.3 幾個數(shù)學(xué)原則 7
練習(xí)1.1 11
1.2 歸納推理和演繹推理 14
1.2.1 歸納推理 15
1.2.2 錯誤的歸納推理 17
1.2.3 演繹推理 18
練習(xí)1.2 20
1.3 估計 23
1.3.1 舍入法 23
1.3.2 相容數(shù)字法 23
1.3.3 估計圖形數(shù)據(jù) 24
練習(xí)1.3 27
本章復(fù)習(xí)題 30
本章測試 31
第2章 集合論 32
2.1 集合語言 32
2.1.1 集合的表示法 32
2.1.2 定義明確的集合 34
2.1.3 元素符號 35
2.1.4 基數(shù) 35
練習(xí)2.1 36
2.2 集合比較 39
2.2.1 集合相等 39
2.2.2 等價集合 39
2.2.3 子集 40
2.2.4 維恩圖 40
練習(xí)2.2 43
2.3 集合運算 46
2.3.1 并集 46
2.3.2 交集 47
2.3.3 補集 48
2.3.4 差集 49
2.3.5 運算順序 49
練習(xí)2.3 52
2.4 調(diào)查問題 54
2.4.1 命名維恩圖 54
2.4.2 調(diào)查問題 55
2.4.3 調(diào)查問題中的矛盾 58
練習(xí)2.4 59
2.5 深入觀察：無限集合 62
2.5.1 無限集合 63
2.5.2 可數(shù)集合 63
2.5.3 基數(shù)c 64
練習(xí)2.5 65
本章復(fù)習(xí)題 65
本章測試 66
第3章 邏輯 68
3.1 命題、聯(lián)結(jié)詞和量詞 68
3.1.1 命題 68
3.1.2 聯(lián)結(jié)詞 69
3.1.3 量詞 71
3.1.4 量詞的否定 72
練習(xí)3.1 73
3.2 真值表 75
3.2.1 真值表 76
3.2.2 復(fù)合命題 77
3.2.3 邏輯等價命題 79
3.2.4 德?摩根定律 80
3.2.5 三值邏輯 82
練習(xí)3.2 83
3.3 條件和雙條件 85
3.3.1 條件 85
3.3.2 條件的派生形式 87
3.3.3 條件的替代用語 88
3.3.4 雙條件 89
練習(xí)3.3 89
3.4 論證的驗證 92
3.4.1 論證的驗證 92
3.4.2 無效論證 94
3.4.3 有效論證形式和謬誤 95
練習(xí)3.4 96
3.5 用歐拉圖驗證三段論 99
3.5.1 有效三段論 99
3.5.2 無效三段論 100
練習(xí)3.5 103
3.6 深入觀察：模糊邏輯 105
3.6.1 模糊命題 105
3.6.2 模糊聯(lián)結(jié)詞 105
3.6.3 模糊決策 107
練習(xí)3.6 108
本章復(fù)習(xí)題 110
本章測試 111
第4章 圖論（網(wǎng)絡(luò)） 112
4.1 圖、謎題和地圖著色 112
4.1.1 圖的術(shù)語 112
4.1.2 一筆畫 113
4.1.3 歐拉定理 114
4.1.4 弗羅萊算法 117
4.1.5 圖的歐拉化 118
4.1.6 地圖著色 119
練習(xí)4.1 122
4.2 旅行推銷員問題 126
4.2.1 哈密頓路徑 127
4.2.2 查找哈密頓回路 127
4.2.3 暴力破解算法 130
4.2.4 *近鄰算法 131
4.2.5 *佳邊算法 133
練習(xí)4.2 134
4.3 有向圖 137
4.3.1 有向圖 137
4.3.2 影響力建模 138
4.3.3 疾病建模 140
練習(xí)4.3 141
4.4 深入觀察：PERT圖及其應(yīng)用 144
4.4.1 PERT圖 144
4.4.2 高效日程安排 146
練習(xí)4.4 149
本章復(fù)習(xí)題 151
本章測試 153
第5章 數(shù)系 154
5.1 數(shù)系的演變 154
5.1.1 埃及數(shù)系 154
5.1.2 羅馬數(shù)系 157
5.1.3 中國數(shù)系 159
練習(xí)5.1 160
5.2 位值數(shù)系 162
5.2.1 巴比倫數(shù)系 163
5.2.2 瑪雅數(shù)系 164
5.2.3 印度－阿拉伯?dāng)?shù)系 166
5.2.4 排槳帆船法和奈皮爾乘除器 167
練習(xí)5.2 169
5.3 其他進位基數(shù) 171
5.3.1 非十進制 171
5.3.2 非十進制算術(shù)運算 174
5.3.3 二進制、八進制和十六進制 178
練習(xí)5.3 179
5.4 深入觀察：模數(shù)系 181
5.4.1 模m數(shù)系 181
5.4.2 模m數(shù)系運算 183
5.4.3 解同余 184
練習(xí)5.4 186
本章復(fù)習(xí)題 188
本章測試 188
第6章 數(shù)論和實數(shù)系 190
6.1 數(shù)論 190
6.1.1 素數(shù) 190
6.1.2 整除性檢驗方法和因數(shù)分解 192
6.1.3 *大公約數(shù)和*小公倍數(shù) 194
6.1.4 *大公約數(shù)和*小公倍數(shù)的
應(yīng)用 197
練習(xí)6.1 198
6.2 整數(shù) 200
6.2.1 整數(shù)的加減 201
6.2.2 整數(shù)的乘除 202
練習(xí)6.2 204
6.3 有理數(shù) 206
6.3.1 有理數(shù)相等 206
6.3.2 有理數(shù)的加減 208
6.3.3 有理數(shù)的乘除 209
6.3.4 帶分?jǐn)?shù) 211
6.3.5 循環(huán)小數(shù) 212
練習(xí)6.3 214
6.4 實數(shù)系 216
6.4.1 無理數(shù) 217
6.4.2 根式計算 219
6.4.3 實數(shù)的應(yīng)用 219
6.4.4 實數(shù)的性質(zhì) 221
練習(xí)6.4 223
6.5 指數(shù)和科學(xué)記數(shù)法 226
6.5.1 指數(shù) 226
6.5.2 科學(xué)記數(shù)法 228
6.5.3 科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用 230
練習(xí)6.5 231
6.6 深入觀察：數(shù)列 233
6.6.1 等差數(shù)列 234
6.6.2 等比數(shù)列 236
6.6.3 斐波那契數(shù)列 238
練習(xí)6.6 240
本章復(fù)習(xí)題 242
本章測試 242
第7章 代數(shù)模型 244
7.1 線性方程 244
7.1.1 解線性方程 244
7.1.2 截點 246
7.1.3 直線的斜截式 249
練習(xí)7.1 250
7.2 線性方程建模 253
7.2.1 一個點和斜率建模 254
7.2.2 兩點建模 255
7.2.3 *佳擬合直線 256
練習(xí)7.2 258
7.3 二次方程建模 260
7.3.1 二次公式 261
7.3.2 二次方程作圖 262
7.3.3 二次方程建模 263
練習(xí)7.3 265
7.4 指數(shù)方程和增長 267
7.4.1 指數(shù)增長 267
7.4.2 指數(shù)模型 270
7.4.3 邏輯斯蒂模型 273
練習(xí)7.4 275
7.5 比例和變分 277
7.5.1 比和比例 278
7.5.2 捕獲－再捕獲法 279
7.5.3 變分 279
練習(xí)7.5 282
7.6 線性方程組和不等式組建模 285
7.6.1 線性方程組 285
7.6.2 消元法解方程組 286
7.6.3 方程組建模 289
7.6.4 解線性不等式 291
7.6.5 解不等式組 293
7.6.6 不等式組建模 294
練習(xí)7.6 295
7.7 深入研究：動力系統(tǒng) 299
7.7.1 動力系統(tǒng) 299
7.7.2 平衡值和穩(wěn)定性 301
練習(xí)7.7 303
本章復(fù)習(xí)題 304
本章測試 306
第8章 消費者數(shù)學(xué) 308
8.1 百分?jǐn)?shù)、稅收和通貨膨脹 308
8.1.1 百分?jǐn)?shù) 308
8.1.2 變化百分比 309
8.1.3 百分比等式 310
8.1.4 稅收 312
8.1.5 通貨膨脹 313
練習(xí)8.1 314
8.2 利息 316
8.2.1 單利 317
8.2.2 復(fù)利 318
8.2.3 求復(fù)利公式中的未知數(shù) 319
練習(xí)8.2 323
8.3 消費貸款 325
8.3.1 附加利息法 326
8.3.2 未付余額法 327
8.3.3 日均余額法 328
8.3.4 利息費用計算方法之比較 330
練習(xí)8.3 330
8.4 年金 333
8.4.1 計算年金 333
8.4.2 累積基金 336
練習(xí)8.4 338
8.5 分期償還貸款 340
8.5.1 分期償還 340
8.5.2 分期償還計劃 342
8.5.3 計算年金的現(xiàn)值 343
8.5.4 為貸款再融資 344
練習(xí)8.5 346
8.6 深入觀察：年百分率 348
8.6.1 計算年百分率 348
8.6.2 估算年百分率 351
練習(xí)8.6 352
本章復(fù)習(xí)題 353
本章測試 354
第9章 幾何 356
9.1 線、角和圓 356
9.1.1 點、線和面 356
9.1.2 角 357
9.1.3 圓 360
練習(xí)9.1 362
9.2 多邊形 365
9.2.1 多邊形 365
9.2.2 多邊形和角 367
9.2.3 相似多邊形 369
練習(xí)9.2 371
9.3 周長和面積 375
9.3.1 周長和面積 375
9.3.2 衍生面積公式 375
9.3.3 畢達哥拉斯定理 378
9.3.4 圓 379
練習(xí)9.3 382
9.4 體積和表面積 387
9.4.1 體積 387
9.4.2 圓柱 388
9.4.3 圓錐和球體 391
練習(xí)9.4 392
9.5 公制和量綱分析 395
9.5.1 公制 395
9.5.2 公制單位 396
9.5.3 公制計量之間的關(guān)系 396
9.5.4 公制換算 396
9.5.5 量綱分析 398
練習(xí)9.5 402
9.6 對稱性和密鋪 405
9.6.1 剛體運動 405
9.6.2 對稱性 409
9.6.3 密鋪 410
練習(xí)9.6 413
9.7 深入觀察：分形 416
9.7.1 分形 417
9.7.2 長度和面積 419
9.7.3 維數(shù) 420
9.7.4 分形的應(yīng)用 423
練習(xí)9.7 423
本章復(fù)習(xí)題 424
本章測試 426
第10章 分配 428
10.1 理解分配 428
10.1.1 漢彌爾頓分配法 429
10.1.2 衡量公平性 430
練習(xí)10.1 433
10.2 亨廷頓－希爾分配原則 435
10.2.1 分配準(zhǔn)則 435
10.2.2 亨廷頓－希爾法 436
10.2.3 分配風(fēng)電場聯(lián)合體董事會
成員 437
10.2.4 其他應(yīng)用 438
10.2.5 亨廷頓－希爾原則的推導(dǎo) 439
練習(xí)10.2 440
10.3 其他悖論和分配法 442
10.3.1 標(biāo)準(zhǔn)除數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)配額 443
10.3.2 更多分配悖論 445
10.3.3 其他分配法 447
練習(xí)10.3 450
10.4 深入觀察：公平分配 453
10.4.1 公平分配 453
10.4.2 密封投標(biāo)法 454
練習(xí)10.4 457
本章復(fù)習(xí)題 460
本章測試 461
第11章 投 票 462
11.1 投票方法 462
11.1.1 相對多數(shù)法 462
11.1.2 波達計數(shù)法 463
11.1.3 末位淘汰法 465
11.1.4 成對比較法 466
練習(xí)11.1 468
11.2 投票方法的缺陷 471
11.2.1 絕對多數(shù)準(zhǔn)則 471
11.2.2 孔多塞準(zhǔn)則 472
11.2.3 無關(guān)因素獨立性準(zhǔn)則 473
11.2.4 單調(diào)性準(zhǔn)則 475
練習(xí)11.2