目 錄 一 “萬物皆數(shù)”觀點(diǎn)的破滅與再生———**次數(shù)學(xué)危機(jī)與實(shí)數(shù)理論 / 1 1.1 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條———萬物皆數(shù) / 1 1.2 **個(gè)無理數(shù) / 2 1.3 無理數(shù)之謎 / 3 1.4 連續(xù)性的奧秘 / 4 1.5 戴德金分割 / 6 1.6 連續(xù)歸納原理 / 7 1.7 “萬物皆數(shù)”的再生 / 9 二 哪種幾何才是真的———非歐幾何與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的“公理” / 11 2.1 歐幾里得的公理方法 / 11 2.2 歐幾里得的幾何定理是真理嗎 / 12 2.3 非歐幾何的發(fā)現(xiàn) / 13 2.4 哪一個(gè)是真的 / 15 2.5 公理是什么 / 17 三 變量·無窮小·量的“鬼魂”———第二次數(shù)學(xué)危機(jī)與極限概念 / 19 3.1 數(shù)學(xué)怎么描述運(yùn)動(dòng)與變化 / 20 3.2 瞬時(shí)速度 / 22 3.3 微分是量的鬼魂嗎 / 24 3.4 無窮小量的再生 / 26 四 自然數(shù)有多少———數(shù)學(xué)中的“實(shí)在無窮”概念 / 28 4.1 伽利略的困惑 / 29 4.2 康托爾，闖入無窮王國的先鋒 / 30 4.3 希爾伯特的“無窮旅店” / 32 4.4 所有的無窮都一樣嗎 / 33 4.5 自然數(shù)究竟有多少 / 38 五 羅素悖論引起的軒然大波———第三次數(shù)學(xué)危機(jī) / 40 5.1 邏輯—集合—數(shù) / 40 5.2 羅素悖論 / 42 5.3 集合的層次理論 / 43 5.4 集合論的公理化 / 44 5.5 連續(xù)統(tǒng)假設(shè) / 45 5.6 地平線仍在前方 / 46 六 數(shù)是什么———對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的幾種看法 / 49 6.1 “1”是什么 / 49 6.2 柏拉圖主義———數(shù)存在于理念世界 / 51 6.3 唯名論觀點(diǎn)———數(shù)是紙上的符號(hào)或頭腦中特定的概念 / 54 6.4 康德:數(shù)是思維創(chuàng)造的抽象實(shí)體 / 55 6.5 約定論的觀點(diǎn)———數(shù)學(xué)規(guī)則不過是人的約定 / 56 6.6 邏輯主義———算術(shù)是邏輯的一部分 / 56 6.7 直覺主義———數(shù)學(xué)概念是自主的智力活動(dòng) / 58 6.8 形式主義———把數(shù)學(xué)化為關(guān)于有限符號(hào)排列的操作 / 60 七 是真的，但又不能證明———哥德爾定理 / 63 7.1 哥德爾定理 / 65 7.2 說謊者悖論與理查德悖論 / 66 7.3 算術(shù)有多少種 / 67 7.4 數(shù)學(xué)的力量與局限 / 69 八 數(shù)學(xué)與結(jié)構(gòu)———布爾巴基學(xué)派的觀點(diǎn) / 71 8.1 在邏輯長鏈的背后 / 72 8.2 形形色色的加法 / 75 8.3 基本的結(jié)構(gòu) / 78 8.4 分析與綜合的藝術(shù) / 81 九 命運(yùn)決定還是意志自由———必然性與偶然性的數(shù)學(xué)思考 / 85 9.1 兩種對(duì)立的哲學(xué)觀點(diǎn) / 86 9.2 從偶然產(chǎn)生必然 / 91 9.3 從必然產(chǎn)生偶然 / 93 9.4 一陣風(fēng)或一口痰能影響民族的命運(yùn)嗎 / 95 9.5 什么叫必然 什么叫偶然 / 97 十 舉例子能證明幾何定理嗎———演繹與歸納的對(duì)立與統(tǒng)一 / 101 10.1 例證法———用演繹支持歸納 / 101 10.2 幾何定理也能用例子證明 / 103 10.3 進(jìn)一步的思考 / 106 十一 數(shù)學(xué)與哲學(xué)隨想 / 109 11.1 數(shù)學(xué)的領(lǐng)域在擴(kuò)大，哲學(xué)的地盤在縮小 / 109 11.2 數(shù)學(xué)始終在影響著哲學(xué) / 110 11.3 抽象與具體 / 112 11.4 涉及具體問題時(shí)，語言必須準(zhǔn)確嚴(yán)格 / 113 11.5 個(gè)別與一般 / 114 11.6 事物與概念 / 116 11.7 “我不需要這個(gè)假設(shè)” / 117 11.8 證實(shí)與證偽 / 118 11.9 數(shù)學(xué)世界是人的創(chuàng)造，但它是客觀的 / 119 11.10 事物的總體性 / 120 11.11 變化中的不變 / 121 11.12 預(yù) 言 / 123 11.13 “沒有兩件事物完全一樣” / 124 11.14 物極必反 / 125 11.15 量變與質(zhì)變 / 125 11.16 羅素與“事素” / 127 數(shù)學(xué)高端科普出版書目 / 129