第 1 章素數(1) 1
1．1 整除性 1
1．2 素數 2
1．3 算術基本定理的表述 3
1．4 素數序列 4
1．5 關于素數的幾個問題 5
1．6 若干記號 6
1．7 對數函數 8
1．8 素數定理的表述 9
本章附注 10
第 2 章素數(2) 12
2．1 Euclid 第二定理的第 一個證明 12
2．2 Euclid 方法的更進一步推論 12
2．3 某種算術級數中的素數 13
2．4 Euclid 定理的第二個證明 14
2．5 Fermat 數和Mersenne 數 15
2．6 Euclid 定理的第三個證明 17
2．7 關于素數公式的進一步結果 18
2．8 關于素數的未解決的問題 19
2．9 整數模 20
2．10 算術基本定理的證明 21
2．11 基本定理的另一個證明 22
本章附注 22
第3 章Farey 數列和Minkowski定理 24
3．1 Farey 數列的定義和*簡單的性質 24
3．2 兩個特征性質的等價性 25
3．3 定理28 和定理29 的第 一個證明 26
3．4 定理28 和定理29 的第二個證明 26
3．5 整數格點 27
3．6 基本格的某些簡單性質 28
3．7 定理28 和定理29 的第三個證明 30
3．8 連續統的Farey 分割 30
3．9 Minkowski 的一個定理 32
3．10 Minkowski 定理的證明 33
3．11 定理37 的進一步拓展 35
本章附注 37
第4 章無理數 39
4．1 概論 39
4．2 已知的無理數 40
4．3 Pythagoras 定理及其推廣 40
4．4 基本定理在定理43～45 證明中的應用 42
4．5 歷史雜談 43
4．6√5 無理性的幾何證明 45
4．7 更多的無理數 46
本章附注 48
第5 章同余和剩余 49
5．1 *大公約數和*小公倍數 49
5．2 同余和剩余類 50
5．3 同余式的初等性質 51
5．4 線性同余式 52
5．5 Euler 函數 (m) 54
5．6 定理59 和定理61 對三角和的應用 56
5．7 一個一般性的原理 59
5．8 正十七邊形的構造 60
本章附注 65
第6 章Fermat 定理及其推論 66
6．1 Fermat 定理 66
6．2 二項系數的某些性質 66
6．3 定理72 的第二個證明 69
6．4 定理22 的證明 69
6．5 二次剩余 70
6．6 定理79 的特例：Wilson定理 72
6．7 二次剩余和非剩余的初等性質 73
6．8 a (mod m) 的階 75
6．9 Fermat 定理的逆定理 76
6．10 2p 1 1 能否被p2 整除 77
6．11 Gauss 引理和2 的二次特征 78
6．12 二次互倒律 81
6．13 二次互倒律的證明 83
6．14 素數的判定 84
6．15 Mersenne 數的因子， Euler 的一個定理 86
本章附注 87
第7 章同余式的一般性質 89
7．1 同余式的根 89
7．2 整多項式和恒等同余式 89
7．3 多項式(mod m) 的整除性 91
7．4 素數模同余式的根 92
7．5 一般定理的某些應用 93
7．6 Fermat 定理和Wilson 定理的Lagrange 證明 95
7．7 [ 12 (p 1)]! 的剩余 96
7．8 Wolstenholme 的一個定理 97
7．9 von Staudt 定理 99
7．10 von Staudt 定理的證明 100
本章附注 102
第8 章復合模的同余式 103
8．1 線性同余式 103
8．2 高次同余式 105
8．3 素數冪模的同余式 105
8．4 例子 107
8．5 Bauer 的恒等同余式 108
8．6 Bauer 的同余式：p = 2 的情形 110
8．7 Leudesdorf 的一個定理 111
8．8 Bauer 定理的進一步的推論 113
8．9 2p 1 和(p 1)! 關于模p2 的同余式 116
本章附注 117
第9 章用十進制小數表示數 118
9．1 與給定的數相伴的十進制小數 118
9．2 有限小數和循環小數 121
9．3 用其他進位制表示數 123
9．4 用小數定義無理數 124
9．5 整除性判別法 125
9．6 有*大周期的十進制小數 126
9．7 Bachet 的稱重問題 127
9．8 Nim 博弈 129
9．9 缺失數字的整數 131
9．10 測度為零的集合 132
9．11 缺失數字的十進制小數 133
9．12 正規數 135
9．13 幾乎所有的數都是正規數的證明 136
本章附注 139
第 10 章連分數 141
10．1 有限連分數 141
10．2 連分數的漸近分數 142
10．3 有正的商的連分數 143
10．4 簡單連分數 144
10．5 用簡單連分數表示不可約有理分數 145
10．6 連分數算法和Euclid 算法 147
10．7 連分數與其漸近分數的差 149
10．8 無限簡單連分數 151
10．9 用無限連分數表示無理數 152
10．10 一個引理 153
10．11 等價的數 155
10．12 周期連分數 157
10．13 某些特殊的二次根式 159
10．14 Fibonacci 數列和Lucas數列 162
10．15 用漸近分數作逼近 165
本章附注 168
第 11 章用有理數逼近無理數 169
11．1 問題的表述 169
11．2 問題的推廣 170
11．3 Dirichlet 的一個論證方法 171
11．4 逼近的階 173
11．5 代數數和超越數 174
11．6 超越數的存在性 175
11．7 Liouville 定理和超越數的構造 176
11．8 對任意無理數的*佳逼近的度量 178
11．9 有關連分數的漸近分數的另一個定理 179
11．10 具有有界商的連分數 181
11．11 有關逼近的進一步定理 184
11．12 聯立逼近 185
11．13 e 的超越性 186
11．14 π 的超越性 189
本章附注 192
第 12 章k(1)， k(i)， k(ρ) 中的算術基本定理 194
12．1 代數數和代數整數 194
12．2 有理整數、Gauss 整數和k(ρ)中的整數 194
12．3 Euclid 算法 196
12．4 從Euclid 算法推導k(1) 中的基本定理 196
12．5 關于Euclid 算法和基本定理的歷史注釋 198
12．6 Gauss 整數的性質 198
12．7 k(i) 中的素元 200
12．8 k(i) 中的算術基本定理 201
12．9 k(ρ) 中的整數 204
本章附注 206
第 13 章某些Diophantus方程 207
13．1 Fermat 大定理 207
13．2 方程x2 + y2 = z2 207
13．3 方程x4 + y4 = z4 09
13．4 方程x3 + y3 = z3 210
13．5 方程x3 + y3 = 3z3 214
13．6 用有理數的三次冪之和表示有理數 215
13．7 方程x3 + y3 + z3 = t3 217
本章附注 220
第 14 章二次域(1) 223
14．1 代數數域 223
14．2 代數數和代數整數、本原多項式 224
14．3 一般的二次域k(√m) 225
14．4 單位和素元 226
14．5 k(√2) 中的單位 228
14．6 基本定理不成立的數域 230
14．7 復Euclid 域 231
14．8 實Euclid 域 233
14．9 實Euclid 域(續) 235
本章附注 237
第 15 章二次域(2) 239
15．1 k(i) 中的素元 239
15．2 k(i) 中的Fermat 定理 240
15．3 k(ρ) 中的素元 241
15．4 k(√2) 和k(√5) 中的素元 242
15．5 Mersenne 數M4n+3 的素性的Lucas 判別法 245
15．6 關于二次域的算術的一般性注釋 247
15．7 二次域中的理想 248
15．8 其他的域 250
本章附注 252
第 16 章算術函數 (n)， μ(n)，d(n)， σ(n)， r(n) 254
16．1 函數 (n) 254
16．2 定理63 的另一個證明 255
16．3 M bius 函數 255
16．4 M bius 反演公式 257
16．5 進一步的反演公式 258
16．6 Ramanujan 和的估計 258
16．7 函數d(n) 和σk(n) 260
16．8 完全數 261
16．9 函數r(n) 262
16．10 r(n) 公式的證明 263
本章附注 265
第 17 章算術函數的生成函數 266
17．1 由Dirichlet 級數生成算術函數 266
17．2 ζ 函數 ．267
17．3 ζ(s) 在s → 1 時的性狀 268
17．4 Dirichlet 級數的乘法 270
17．5 某些特殊算術函數的生成函數 272
17．6 M bius 公式的解析說明 273
17．7 函數Λ(n) 276
17．8 生成函數的進一步的例子 278
17．9 r(n) 的生成函數 279
17．10 其他類型的生成函數 280
本章附注 282
第 18 章算術函數的階 283
18．1 d(n) 的階 283
18．2 d(n) 的平均階 286
18．3 σ(n) 的階 289
18．4 (n) 的階 290
18．5 (n) 的平均階 291
18．6 無平方因子數的個數 292
18．7 r(n) 的階 293
本章附注 295
第 19 章分劃 297
19．1 加性算術的一般問題 297
19．2 數的分劃 297
19．3 p(n) 的生成函數 298
19．4 其他的生成函數 300
19．5 Euler 的兩個定理 301
19．6 進一步的代數恒等式 304
19．7 F(x) 的另一個公式 304
19．8 Jacobi 的一個定理 305
19．9 Jacobi 恒等式的特例 307
19．10 定理353 的應用 309
19．11 定理358 的初等證明 310
19．12 p(n) 的同余性質 312
19．13 Rogers-Ramanujan恒等式 314
19．14 定理362 和定理363 的證明 316
19．15 Ramanujan 連分數 318
本章附注 319
第 20 章用兩個或四個平方和表示數 322
20．1 Waring 問題：數g(k) 和G(k) 322
20．2 平方和 323
20．3 定理366 的第二個證明 324
20．4 定理366 的第三個和第四個證明 325
20．5 四平方定理 327
20．6 四元數 328
20．7 關于整四元數的預備定理 331
20．8 兩個四元數的*高右公約數 332
20．9 素四元數和定理370 的證明 334
20．10 g(2) 和G(2) 的值 335
20．11 定理369 的第三個證明的引理 336
20．12 定理369 的第三個證明：表法個數 337
20．13 用多個平方和表示數 340
本章附注 341
第 21 章用立方數以及更高次冪表示數 343
21．1 四次冪 343
21．2 三次冪：G(3) 和g(3) 的存在性 344
21．3 g(3) 的界 345
21．4 更高次冪 346
21．5 g(k) 的一個下界 347
21．6 G(k) 的下界 348
21．7 受符號影響的和：數v(k) 351
21．8 v(k) 的上界 352
21．9 Prouhet-Tarry 問題：數P(k， j) 354
21．10 對特殊的k 和j 計算P(k， j) 356
21．11 Diophantus 分析的進一步的問題 358
本章附注 361
第 22 章素數(3) 368
22．1 函數 (x) 和ψ(x) 368
22．2 (x) 和ψ(x) 的階為x 的證明 369
22．3 Bertrand 假設和一個關于素數的“公式” 371
22．4 定理7 和定理9 的證明 374
22．5 兩個形式變換 375
22．6 一個重要的和 376
22．7 Σp 1 與Π(1 p 1) 378
22．8 Mertens 定理 380
22．9 定理323 和定理328 的
證明 382
22．10 n 的素因子個數 383
22．11 ω(n) 和Ω(n) 的正規階 385
22．12 關于圓整數的一個注解 387
22．13 d(n) 的正規階 388
22．14 Selberg 定理 388
22．15 函數R(x) 和V (ξ) 390
22．16 完成定理434、定理6 和定理8 的證明 394
22．17 定理335 的證明 396
22．18 k 個素因子的乘積 397
22．19 區間中的素數 399
22．20 關于素數對p， p + 2 的分布的一個猜想 400
本章附注 402
第 23 章Kronecker 定理 405
23．1 一維的Kronecker 定理 405
23．2 一維定理的證明 406
23．3 反射光線的問題 408
23．4 一般定理的表述 410
23．5 定理的兩種形式 411
23．6 一個例證 413
23．7 Lettenmeyer 給出的定理證明 413
23．8 Estermann 給出的定理證明 415
23．9 Bohr 給出的定理證明 417
23．10 一致分布 419
本章附注 421
第 24 章數的幾何 422
24．1 基本定理的導引和重新表述 422
24．2 簡單的應用 423
24．3 定理448 的算術證明 425
24．4 *好的可能的不等式 427
24．5 關于ξ2 + η2 的*好可能的不等式 428
24．6 關于|ξη| 的*好可能的不等式 429
24．7 關于非齊次型的一個定理 431
24．8 定理455 的算術證明 433
24．9 Tchebotaref 定理 434
24．10 Minkowski 定理(定理446)的逆定理 436
本章附注 439
第 25 章橢圓曲線 444
25．1 同余數問題 444
25．2 橢圓曲線的加法法則 445
25．3 定義橢圓曲線的其他方程 450
25．4 有限階點 452
25．5 有理點組成的群 456
25．6 關于模p 的點群 462
25．7 橢圓曲線上的整點 463
25．8 橢圓曲線的L 級數 466
25．9 有限階點與模曲線 469
25．10 橢圓曲線與Fermat 大定理 472
本章附注 474
附錄 479
參考書目 482
特殊符號和術語索引 486
常見人名對照表 489
《哈代數論(第6 版)》補遺 491