目錄
前言
第 1 章 經(jīng)典方程的導(dǎo)出與定解問題 1
1.1 基本概念 1
1.2 經(jīng)典方程的導(dǎo)出 6
1.2.1 弦振動方程 6
1.2.2 熱傳導(dǎo)方程 10
1.2.3 位勢方程 12
1.3 定解問題 12
1.3.1 定解問題和定解條件 12
1.3.2 定解問題的適定性 15
1.4 疊加原理 16
習(xí)題一 19
第 2 章 二階偏微分方程的分類和簡化 21
2.1 二階方程的特征 21
2.2 二階方程的分類與化簡 24
2.2.1 兩個(gè)自變量的情形 24
2.2.2 多個(gè)自變量的情形 32
習(xí)題二 35
第 3 章 波動方程 36
3.1 問題的簡化 36
3.1.1 初值問題的簡化 36
3.1.2 混合問題的簡化 39
3.2 一維波動方程的初值問題 42
3.2.1 達(dá)朗貝爾公式 42
3.2.2 達(dá)朗貝爾公式的物理意義 46
3.2.3 依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域 47
3.2.4 一維半無界問題 49
3.3 高維波動方程的初值問題 52
3.3.1 三維波動方程的初值問題 52
3.3.2 二維波動方程的初值問題 60
3.3.3 特征錐 62
3.3.4 惠更斯原理、波的彌散 64
3.4 混合問題 (初邊值問題) 66
3.4.1 齊次波動方程的混合問題 66
3.4.2 非齊次波動方程的混合問題 73
3.4.3 * 施圖姆–劉維爾特征值問題 78
3.4.4 二維波動方程的混合問題 81
3.4.5 物理意義, 駐波法 83
3.5 能量法與波動方程解的適定性 85
3.5.1 能量等式 混合問題解的唯一性 86
3.5.2 能量不等式 混合問題解的穩(wěn)定性 88
3.5.3 初值問題解的唯一性和穩(wěn)定性 91
習(xí)題三 95
第 4 章 熱傳導(dǎo)方程 100
4.1 傅里葉變換及其基本性質(zhì) 100
4.2 熱傳導(dǎo)方程的初值問題 110
4.2.1 初值問題與基本解 110
4.2.2 半無界問題 118
4.3 熱傳導(dǎo)方程的混合問題 121
4.4 極值原理與熱傳導(dǎo)方程的適定性 127
4.4.1 極值原理 127
4.4.2 **邊值問題解的適定性 129
4.4.3 第二、第三邊值問題解的*大模估計(jì) 131
4.4.4 初值問題解的*大模估計(jì) 134
4.4.5 混合問題解的能量不等式 135
習(xí)題四 136
第 5 章 位勢方程 140
5.1 調(diào)和函數(shù) 140
5.1.1 調(diào)和函數(shù)與基本解 140
5.1.2 格林公式 142
5.2 調(diào)和函數(shù)的基本積分公式及性質(zhì) 142
5.2.1 調(diào)和函數(shù)的基本積分公式 142
5.2.2 調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì) 144
5.3 格林函數(shù) 148
5.3.1 格林函數(shù)的導(dǎo)出 148
5.3.2 格林函數(shù)的性質(zhì) 150
5.4 幾種特殊區(qū)域上的格林函數(shù)和狄利克雷問題的解 153
5.4.1 上半空間的格林函數(shù) 153
5.4.2 球上的格林函數(shù) 155
5.4.3 圓域上的格林函數(shù) 159
5.5 調(diào)和函數(shù)的進(jìn)一步性質(zhì) 162
5.6 極值原理與位勢方程解的適定性 165
5.6.1 極值原理 165
5.6.2 *大模估計(jì) 169
習(xí)題五 172
第 6 章 一階偏微分方程 176
6.1 基本概念 176
6.2 線性齊次偏微分方程 177
6.2.1 通解 177
6.2.2 初值問題 182
6.3 擬線性偏微分方程 185
6.3.1 通解 185
6.3.2 初值問題 189
習(xí)題六 194
部分習(xí)題答案與提示 195
參考文獻(xiàn) 214