目 錄 概率論與數理統計(工)自學考試大綱 大綱前言…………………………………………………………………………………………… 3 Ⅰ 課程性質與課程目標………………………………………………………………………… 5 Ⅱ 考核目標……………………………………………………………………………………… 7 Ⅲ 課程內容與考核要求………………………………………………………………………… 8 **章 隨機事件與概率…………………………………………………………………… 8 第二章 隨機變量及其概率分布…………………………………………………………… 9 第三章 多維隨機變量及其概率分布 …………………………………………………… 10 第四章 隨機變量的數字特征 …………………………………………………………… 11 第五章 大數定律及中心極限定理 ……………………………………………………… 12 第六章 樣本與統計量 …………………………………………………………………… 13 第七章 參數估計 ………………………………………………………………………… 13 第八章 假設檢驗 ………………………………………………………………………… 14 Ⅳ 關于大綱的說明與考核實施要求 ………………………………………………………… 16 概率論與數理統計(工)試題樣卷 ……………………………………………………………… 19 概率論與數理統計(工)試題樣卷答案 ………………………………………………………… 22 大綱后記 ………………………………………………………………………………………… 24 概率論與數理統計(工)(2023年版) 編寫說明 ………………………………………………………………………………………… 27 **章 隨機事件與概率 ……………………………………………………………………… 29 §1 隨機事件……………………………………………………………………………… 29 1.1 隨機現象 …………………………………………………………………………… 29 1.2 隨機試驗和樣本空間 ……………………………………………………………… 29 1.3 隨機事件的概念 …………………………………………………………………… 30 1.4 隨機事件的關系與運算 …………………………………………………………… 31 習題1.1 …………………………………………………………………………………… 34 §2 概率…………………………………………………………………………………… 35 2.1 頻率與概率 ………………………………………………………………………… 35 2.2 古典概型 …………………………………………………………………………… 36 2.3 概率的定義與性質 ………………………………………………………………… 38 2 概率論與數理統計(工)(2023年版) 目 錄 習題1.2 …………………………………………………………………………………… 39 §3 條件概率……………………………………………………………………………… 40 3.1 條件概率與乘法公式 ……………………………………………………………… 40 3.2 全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式 ………………………………………………… 42 習題1.3 …………………………………………………………………………………… 44 §4 事件的獨立性………………………………………………………………………… 45 4.1 事件的獨立性 ……………………………………………………………………… 45 4.2 n重伯努利(Bernoulli)試驗 ………………………………………………………… 48 習題1.4 …………………………………………………………………………………… 49 小結 ………………………………………………………………………………………… 50 自測題1 …………………………………………………………………………………… 51 第二章 隨機變量及其概率分布 ……………………………………………………………… 54 §1 離散型隨機變量……………………………………………………………………… 54 1.1 隨機變量的概念 …………………………………………………………………… 54 1.2 離散型隨機變量及其分布律 ……………………………………………………… 55 1.3 0-1分布與二項分布 ……………………………………………………………… 57 1.4 泊松分布 …………………………………………………………………………… 59 習題2.1 …………………………………………………………………………………… 60 §2 隨機變量的分布函數………………………………………………………………… 61 2.1 分布函數的概念 …………………………………………………………………… 61 2.2 分布函數的性質 …………………………………………………………………… 63 習題2.2 …………………………………………………………………………………… 64 §3 連續型隨機變量及其概率密度……………………………………………………… 65 3.1 連續型隨機變量及其概率密度 …………………………………………………… 65 3.2 均勻分布與指數分布 ……………………………………………………………… 68 3.3 正態分布 …………………………………………………………………………… 70 習題2.3 …………………………………………………………………………………… 74 §4 隨機變量函數的概率分布…………………………………………………………… 75 4.1 離散型隨機變量函數的概率分布 ………………………………………………… 75 4.2 連續型隨機變量函數的概率分布 ………………………………………………… 77 習題2.4 …………………………………………………………………………………… 79 小結 ………………………………………………………………………………………… 80 自測題2 …………………………………………………………………………………… 80 第三章 多維隨機變量及其概率分布 ………………………………………………………… 84 §1 多維隨機變量的概念………………………………………………………………… 84 1.1 二維隨機變量及其分布函數 ……………………………………………………… 84 1.2 二維離散型隨機變量的分布律和邊緣分布律……………………………………… 85 1.3 二維連續型隨機變量的概率密度和邊緣概率密度………………………………… 90 概率論與數理統計(工)(2023年版) 目 錄 3 習題3.1 …………………………………………………………………………………… 94 §2 隨機變量的獨立性…………………………………………………………………… 96 2.1 兩個隨機變量的獨立性 …………………………………………………………… 96 2.2 二維離散型隨機變量的獨立性 …………………………………………………… 96 2.3 二維連續型隨機變量的獨立性 …………………………………………………… 99 2.4 n個隨機變量的相互獨立 ………………………………………………………… 101 習題3.2…………………………………………………………………………………… 103 §3 兩個隨機變量的函數的分布 ……………………………………………………… 103 3.1 兩個離散型隨機變量的函數的分布 ……………………………………………… 103 3.2 兩個相互獨立的連續型隨機變量之和的概率分布 ……………………………… 106 習題3.3…………………………………………………………………………………… 108 小結………………………………………………………………………………………… 108 自測題3…………………………………………………………………………………… 109 第四章 隨機變量的數字特征………………………………………………………………… 113 §1 隨機變量的數學期望 ……………………………………………………………… 113 1.1 離散型隨機變量的數學期望 ……………………………………………………… 113 1.2 連續型隨機變量的數學期望 ……………………………………………………… 116 1.3 二維隨機變量的數學期望 ………………………………………………………… 119 1.4 數學期望的性質 ………………………………………………………………… 120 習題4.1…………………………………………………………………………………… 121 §2 方差 ………………………………………………………………………………… 122 2.1 方差的概念 ……………………………………………………………………… 122 2.2 常見隨機變量的方差……………………………………………………………… 125 2.3 方差的性質 ……………………………………………………………………… 130 習題4.2…………………………………………………………………………………… 133 §3 協方差與相關系數 ………………………………………………………………… 134 3.1 協方差 …………………………………………………………………………… 134 3.2 相關系數 ………………………………………………………………………… 136 3.3 矩、協方差矩陣 …………………………………………………………………… 141 習題4.3…………………………………………………………………………………… 142 小結………………………………………………………………………………………… 143 自測題4…………………………………………………………………………………… 143 第五章 大數定律與中心極限定理…………………………………………………………… 148 §1 切比雪夫(Chebyshev)不等式 …………………………………………………… 148 習題5.1…………………………………………………………………………………… 150 §2 大數定律 …………………………………………………………………………… 150 2.1 伯努利大數定律 ………………………………………………………………… 150 2.2 獨立同分布的隨機變量序列的切比雪夫大數定律 ……………………………… 151 4 概率論與數理統計(工)(2023年版) 目 錄 §3 中心極限定理 ……………………………………………………………………… 152 3.1 獨立同分布序列的中心極限定理 ………………………………………………… 152 3.2 棣莫弗 拉普拉斯中心極限定理 ………………………………………………… 154 習題5.3…………………………………………………………………………………… 157 小結………………………………………………………………………………………… 157 自測題5…………………………………………………………………………………… 158 第六章 統計量及其抽樣分布………………………………………………………………… 160 §1 引言 ………………………………………………………………………………… 160 §2 總體與樣本 ………………………………………………………………………… 160 2.1 總體與個體 ……………………………………………………………………… 160 2.2 樣本 ……………………………………………………………………………… 161 §3 統計量及其分布 …………………………………………………………………… 163 3.1 統計量與抽樣分布………………………………………………………………… 163 3.2 經驗分布函數 …………………………………………………………………… 163 3.3 樣本均值及其抽樣分布…………………………………………………………… 164 3.4 樣本方差與樣本標準差…………………………………………………………… 165 3.5 樣本矩及其函數 ………………………………………………………………… 167 3.6 極大順序統計量和極小順序統計量 ……………………………………………… 167 3.7 正態總體的抽樣分布……………………………………………………………… 167 習題6.3…………………………………………………………………………………… 173 小結………………………………………………………………………………………… 174 自測題6…………………………………………………………………………………… 174 第七章 參數估計……………………………………………………………………………… 176 §1 點估計的幾種方法 ………………………………………………………………… 176 1.1 替換原理和矩法估計……………………………………………………………… 176 1.2 極大似然估計 …………………………………………………………………… 178 習題7.1…………………………………………………………………………………… 182 §2 點估計的評價標準 ………………………………………………………………… 183 2.1 相合性 …………………………………………………………………………… 183 2.2 無偏性 …………………………………………………………………………… 184 2.3 有效性 …………………………………………………………………………… 185 習題7.2…………………………………………………………………………………… 185 §3 參數的區間估計 …………………………………………………………………… 185 3.1 置信區間的概念 ………………………………………………………………… 186 3.2 單個正態總體參數的置信區間 …………………………………………………… 187 習題7.3…………………………………………………………………………………… 191 小結………………………………………………………………………………………… 192 自測題7…………………………………………………………………………………… 192 概率論與數理統計(工)(2023年版) 目 錄 5 第八章 假設檢驗……………………………………………………………………………… 193 §1 假設檢驗的基本思想和概念 ……………………………………………………… 193 1.1 基本思想 ………………………………………………………………………… 193 1.2 統計假設的概念 ………………………………………………………………… 194 1.3 兩類錯誤 ………………………………………………………………………… 195 1.4 假設檢驗的基本步驟……………………………………………………………… 196 習題8.1…………………………………………………………………………………… 197 §2 正態總體均值的假設檢驗 ………………………………………………………… 197 2.1 u檢驗……………………………………………………………………………… 197 2.2 t檢驗 ……………………………………………………………………………… 198 習題8.2…………………………………………………………………………………… 201 §3 正態總體方差的假設檢驗 ………………………………………………………… 202 3.1 χ2檢驗 …………………………………………………………………………… 202 習題8.3…………………………………………………………………………………… 204 小結………………………………………………………………………………………… 204 自測題8…………………………………………………………………………………… 205 附表1 標準正態分布表 ……………………………………………………………………… 206 附表2 泊松分布表 …………………………………………………………………………… 207 附表3 t分布表 ……………………………………………………………………………… 209 附表4 χ2分布表 ……………………………………………………………………………… 211 附表5 F 分布表 ……………………………………………………………………………… 214 習題解答或提示………………………………………………………………………………… 222 參考文獻………………………………………………………………………………………… 233 后記……………………………………………………………………………………………… 234