**章 行列式及其應用 1 1.1 全排列、逆序數與對換 1 1.1.1 排列與逆序 1 1.1.2 對換 2 1.2 行列式的定義 3 1.2.1 二階行列式 3 1.2.2 三階行列式 4 1.2.3 n階行列式 5 1.3 行列式的性質 7 1.4 行列式按行(列)展開 14 1.5 克萊姆法則 21 1.5.1 非齊次線性方程組 21 1.5.2 齊次線性方程組 24 本章小結 26 習題一 27 自測題一 30 第二章 矩陣及其運算 32 2.1 矩陣的概念 32 2.1.1 矩陣的定義 32 2.1.2 幾種特殊矩陣 34 2.2 矩陣的運算 37 2.2.1 矩陣的加法與減法 37 2.2.2 數與矩陣相乘 37 2.2.3 矩陣的乘法 38 2.2.4 矩陣的轉置 41 2.2.5 方陣的行列式 43 2.3 可逆矩陣 44 2.4 矩陣的分塊 48 2.5 矩陣的初等變換 51 2.5.1 初等變換 52 2.5.2 初等矩陣 53 2.5.3 用初等變換求逆矩陣 57 2.6 矩陣的秩 58 2.6.1 矩陣秩的定義 58 2.6.2 用初等變換求矩陣的秩 59 2.7 矩陣的應用 63 本章小結 67 習題二 69 自測題二 71 第三章 n維向量空間 73 3.1 n維向量及其運算 73 3.1.1 n維向量 73 3.1.2 向量的運算 75 3.1.3 向量組的線性組合 75 3.2 向量組的線性相關性 76 3.2.1 線性相關的概念 76 3.2.2 線性相關的判定 77 3.3 極大無關組與向量組的秩 81 3.3.1 等價向量組 81 3.3.2 向量組的秩 81 3.3.3 向量組等價的應用 86 3.4 向量空間 88 3.4.1 向量空間與子空間 88 3.4.2 向量空間的基與維數 89 3.5 向量的應用 91 3.5.1 產品的配置問題 91 3.5.2 籃球比賽中參賽運動員選取問題 93 本章小結 95 習題三 96 自測題三 98 第四章 線性方程組 100 4.1 線性方程組的消元解法 100 4.1.1 線性方程組的矩陣表示 100 4.1.2 線性方程組的消元解法——高斯消元法 101 4.2 齊次線性方程組 103 4.2.1 齊次線性方程組的解的判定 103 4.2.2 齊次線性方程組的解的結構 104 4.3 非齊次線性方程組 110 4.3.1 非齊次線性方程組的解的判定 110 4.3.2 非齊次線性方程組的解的結構 114 4.4 線性方程組的應用 117 4.4.1 網絡流模型 117 4.4.2 物資調運問題 118 4.4.3 交通流控制問題 119 本章小結 120 習題四 121 自測題四 124 第五章 矩陣的特征值及對角化 126 5.1 向量組的正交化與正交矩陣 126 5.1.1 向量的內積 126 5.1.2 線性無關向量組的正交化方法 129 5.1.3 正交矩陣 133 5.2 方陣的特征值及特征向量 134 5.2.1 特征值與特征向量的概念 134 5.2.2 特征值與特征向量的性質 137 5.3 相似矩陣 139 5.3.1 相似矩陣及其性質 139 5.3.2 方陣與對角陣相似的充分必要條件 141 5.4 實對稱矩陣對角化 143 5.4.1 實對稱矩陣的性質 143 5.4.2 實對稱矩陣的對角化 144 5.5 矩陣對角化的應用 149 5.5.1 利用矩陣對角化求矩陣的高次冪 149 5.5.2 人口遷移模型 150 5.5.3 教師職業轉換預測問題 152 本章小結 153 習題五 156 自測題五 158 第六章 二次型 159 6.1 二次型及其標準形 159 6.1.1 二次型 159 6.1.2 二次型的矩陣表示形式 160 6.1.3 矩陣的合同 163 6.2 化二次型為標準形 164 6.2.1 用配方法化二次型為標準形 164 6.2.2 用初等變換化二次型為標準形 168 6.2.3 用正交變換化二次型為標準形 170 6.2.4 二次型與對稱矩陣的規范形 174 6.3 正定二次型 175 6.3.1 正定二次型 175 6.3.2 正定矩陣的應用 178 本章小結 179 習題六 181 自測題六 181 第七章 線性空間與線性變換 183 7.1 線性空間的定義與性質 183 7.2 維數、基與坐標 188 7.3 基變換與坐標變換 191 7.4 線性變換 196 7.4.1 線性變換 196 7.4.2 線性變換的基本性質 198 7.5 線性變換的矩陣表示式 200 本章小結 205 習題七 206 自測題七 207 附錄 習題和自測題答案 209 參考文獻 224