數據驅動下的系統動力學研究 節選

第1章基礎知識 本章介紹了動力系統與相空間重構的基本概念與定理，包括相空間、流、半流、軌道及穩定性等基本概念，以及Takens嵌入定理和廣義嵌入定理，給出了利用時間延遲和嵌入維數對相空間的重構. 1.1動力系統 1.1.1基本概念 動力系統是確定性過程這個一般科學概念的數學形式化.在生物、化學、經濟、生態、物理等諸多系統中，系統的將來狀態和過去狀態都可以用其現在的狀態加上決定其發展的規律來刻畫到某種程度.如果這一發展規律不隨時間變化，那么這一系統就是穩態的，且系統的性態完全由初始狀態決定.因此動力系統的定義應當包含其發展的規律以及所有可能出現的狀態.在給出動力系統的數學化定義之前我們先介紹流、半流以及軌道這些概念. 一個系統所有可能的狀態可以用集合X中的點來刻畫，這個集合就稱為系統的狀態空間.通常狀態空間也叫做相空間.系統的發展規律可以用狀態空間上的映射來定義.記系統的初始狀態為％，系統在t時刻的狀態為xu定義狀態空間X上的映射: 將映射為t時刻的狀態: (1.1) 映射通常被稱為系統的發展算子.在連續時間情況下，發展算子族稱為流.若發展算子對和都有定義，則稱這樣的動力系統是可逆的.可逆系統的初始狀態不僅確定著系統的將來狀態，也確定系統的過去狀態.若發展算子僅對t>0有定義，則這樣的系統不可逆.不可逆系統的發展算子在連續時間情形下稱為半流. 發展算子^滿足兩個性質： (1)恒同映射存在性：這里id是狀態空間X上的恒同映射； (2)時間運算保態性： 恒同映射存在性說明系統不會“本能地”改變它的狀態;時間運算保態性表明系統從點ZeX出發，經過t+S時間的發展結果與狀態X先經過S個時間單位到達再經過t個時間單位演化所到達的狀態是一致的（圖1.1)，這說明系統狀態的演化規律不會隨時間變化. 下面給出動力系統的正式定義： 定義1.1動力系統是一個三元組，其中，r是時間集，x是狀態空間，是定義在狀態空間上滿足恒同映射存在性、時間運算保態性的發展算子族. 用兩個例子來說明這個定義. 例1.1(平面線性系統）考慮狀態空間x=R2上依賴于teR1的矩陣 其中為實數.顯然，它確定了X上的一個連續-時間動力系統，且此系統可逆.映射#對所有的都有定義，對和都連續且光滑. 例1.2(符號動力系統）考慮所有可能的由兩個符號，例如，所構成的雙向無窮序列集合為狀態空間X.映射，將序列 映射為序列： 其中.映射分將序列w向左移動了一個位置構成了序列0.這個映射稱為移位映射，它定義了一個可逆的離散-時間動力系統，嶺稱為符號動力系統. 與動力系統相對應的基本幾何對象是相空間中動力系統的軌道，以及由這些軌道所組成的相圖.下面我們給出動力系統軌道的定義. 定義1.2狀態空間X中從出發的一條軌道是指狀態空間的一個有序子集， 如果對于一切的，則稱點為平衡點或者不動點一般在連續-時間系統中我們稱這樣的點為平衡點，在離散-時間系統中稱這樣的點為不動點).平衡點是相空間中*簡單的軌道，另一種簡單形式的軌道為環. 定義1.3環是一個周期軌道.即對一個非平衡點軌道Lo滿足：軌道上的任一點存在使得對所有. 滿足周期軌道性質的*小稱為環的周期.在連續-時間系統中，環是一條閉曲線，如圖1.2(a).連續-時間系統的一個環，如果它的鄰域內沒有其他環存在就稱這個環為極限環.在離散-時間系統中，環是一個點集，如圖1.2(b)， 環的周期T0=N為整數.值得注意的是，離散軌道上的每一個點都是映射的次迭代的不動點. 圖1.2(a)連續-時間系統的周期軌道；(b)離散-時間系統的周期軌道 1.1.2不變集與穩定性 下面介紹動力系統不變集以及穩定性的概念. 第1章基礎知識 定義1.4 定義1.5 定義1.6 簡單來說，如果不變集S0是Lyapunov穩定的，那么它的軌道受到擾動后仍然停留在S0附近；如果不變集是漸近穩定的，那么軌道在擾動后都會收斂到S0.當然存在不變集是Lyapunov穩定的，但它不是漸近穩定的丨圖1.3(a))，同樣也存在不變集，它是吸引的但不是Lyapunov穩定的（圖1.3(b)). 若是有限維離散-時間光滑動力系統的不動點，可以借助定理1.1來敘述穩定性的充分條件. 定理1.1離散-時間動力系統 這里f是光滑映射.假設是系統的不動點，即.記在處的雅可比矩陣為，則當A的所有特征值，滿足時不動點是穩定的. 對于連續-時間動力系統，平衡點#穩定的充分條件由定理1.2給出. 定理1.2考慮微分方程定義的連續-時間動力系統 這里/是光滑函數.假設系統有平衡點#，即/(x。=0.記f(x)在平衡點處的 1.1動力系統 雅可比矩陣為.如果4的所有特征值，滿足，那么平衡點;是穩定的. 定理1.3(壓縮映射原理）設X是一個完備的距離空間，距離為p.如果存在連續映射，使得對一切，和某個滿足 則離散-時間動力系統有一個穩定的不動點，并且對任意點叉出發的軌道，當時有. 注意，壓縮映射原理保證了不動點Z的存在性和唯一性，并且給出了不動點大范圍漸近穩定性的證明工具. 例1.3化學系統中的一個例子（Brussel振子)，假設系統是由底物通過下面幾個不可逆反應步驟組成： 這里，大寫字母表示試劑，箭頭上的ki表示對應的反應率，底物D和E不再加入反應，A和丑假設為常數.由質量作用定律，得出下面兩個關于濃度的非線性方程： 對變量和時間做線性尺度化得 試求解Brussel振子方程的平衡點及平衡點穩定時參數需滿足的條件. 系統平衡點滿足 求解得.系統在平衡點處的特征方程滿足 由定理1.2，若使系統在平衡點穩定，則需 即， 例1.4(Volterra生態模型）Volterra生態模型是*早的生態系統模型之一，由兩個非線性微分方程刻畫： 其中N1和N2分別是被捕食者和捕食者的個數.在生態系統中，a是被捕食者生長率，c是捕食者死亡率，b和d刻畫捕食者消耗被捕食者的效率.試分析Volterra生態系統平衡點的穩態性. 系統平衡點滿足 求解得系統的非零平衡點為.系統在平衡點處的特征方程滿足，即，不能保證所有特征值的實部小于零.故系統在平衡點處不穩定. 1.2相空間重構 現實自然界與社會中出現的現象是十分復雜的，通常我們可以運用非線性方程的動力學演化規律來簡化反映復雜現象的變化特征.然而，對于大多數客觀世界的復雜現象，我們并不能找到確定性的方程來刻畫其動態性質，有時我們僅僅能夠在系統中觀測到一系列隨時間變化的數值，而且這些觀測值并不一定就是系統的自變量，也可能是與系統自變量相關的一系列數據.那么，我們能否從觀測的時間序列中得到系統的動力學性質呢？相空間重構方法與嵌入定理給出了肯定回答. 系統中任一變量的演化都是由與之相互作用的其他變量所決定的，那么這些相關分量的信息就會隱含在任一分量的發展過程中.因此我們可以從某一分量的