近世代數(shù)(第三版) 節(jié)選

第1章基本概念 本章中介紹的一些基本概念是數(shù)學(xué)各個分支的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)本書后面各個代數(shù)體系的**知識. 1.1集合 集合是近代數(shù)學(xué)上*基本的概念之一，它指由一些事物所組成的一個整體. 集合通常用大寫拉丁字母A，B，C， 表示.特別，粗體C表示復(fù)數(shù)集，粗體 R表示實數(shù)集，粗體Q表示有理數(shù)集，粗體Z表示整數(shù)集，粗體N表示自然數(shù)集，又C*表示非零復(fù)數(shù)集，R+表示正實數(shù)集，R-表示負(fù)實數(shù)集，2Z表示偶數(shù)集，其余類同. 組成一個集合的各個事物稱為這個集合的元素，通常用小寫拉丁字母a，b，c， 表示.當(dāng)a是集合A的元素時，稱為a屬于A，記作“a∈A”;當(dāng)a不是集合A的元素時，稱為a不屬于A，記作“”或“”. 不含任何元素的集合稱為空集，記作“”.由全部元素所組成的集合稱為全集，記作“U”. 包含有限個元素的集合稱為有限集，否則稱為無限集.有限集A所包含的元素個數(shù)是一個非負(fù)整數(shù)，記作｜A｜.特別. 表示一個集合的方法通常有兩種.一種是列舉法，即列出它的所有元素，并且用一對花括號括起來.例如包含兩個整數(shù)-1，3的集合S記作 S={-1，3}. 另一種是描述法，即用它的元素所具有的特性來刻畫，例如 表示T是由方程的根所組成的集合.又如 表示有理數(shù)集Q，而 表示復(fù)數(shù)集C. 在本書中，有一些語句經(jīng)常出現(xiàn)，為了簡便，現(xiàn)引用一些邏輯符號予以表達(dá).“對于任意a∈A”表示為“a∈A”，“存在一個a∈A”表示為“”，“存在唯一的a∈A”表示為“”.設(shè)P，Q是兩個命題，“若P成立，則Q成立”表示為“”，“P成立當(dāng)且僅當(dāng)Q成立”表示為“”. 定義1.1設(shè)A，B是兩個集合. (1) 若 則稱A是B的子集，B是A的擴(kuò)集，或A包含于B，B包含A，記作“”或“”.當(dāng)A不是B的子集時，記作“”. (2) 若，且，而，則稱A是B的真子集，記作“”或“”.例如，對于任何集合A，都有.又如. 空集是任何集合A的子集. 集合的包含關(guān)系具有下列性質(zhì): (1)自反性:對于任意的集合A，有; (2)傳遞性:若，則. 定義1.2設(shè)A，B是兩個集合，若，且，則稱A與B相等，記作“A=B”. 兩個相等的集合包含相同的元素.例如上面列出的兩個集合S與T相等. 設(shè)A是一個給定的集合，由A的全體子集所組成的集合稱為A的冪集，記作2A.例如，設(shè)A={1，2，3}，則. 下面討論集合的運(yùn)算. 定義1.3設(shè)A，B是全集U的兩個子集. (1) 由A或B中所有元素所組成的集合稱為A與B的并，記作“A∪B”，即 A∪B={x｜x∈A 或 x∈B}. (2) 由A與B的所有公共元素所組成的集合稱為A與B的交，記作“A∩B”，即 A∩B={x｜x∈A且x∈B}. (3) 在全集U中取出A的全部元素，余下的所有元素所組成的集合稱為A的余，記作“A′”，即 特別 例1設(shè)U={x｜2≤ x≤ 10，x∈Z}，A={2，4，6，8}，B={2，3，5，7}，則 A∪B={2，3，4，5，6，7，8}，A∩B={2}， A′={3，5，7，9，10}，B′={4，6，8，9，10}. 集合的上述三種運(yùn)算具有下列性質(zhì). 定理1.1設(shè)A，B，C是集合U的三個子集，則有 (1) 交換律: A∪B=B∪A，A∩B=B∩A; (2) 結(jié)合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C)， (A∩B)∩C=A∩(B∩C); (3) 分配律: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)， A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); (4) 模律: 若，則A∪(B∩C)=(A∪B)∩C; (5) 冪等律: A∪A=A，A∩A=A; (6) 吸收律: A∪(A∩B)=A∩(A∪B)=A; (7) 兩極律: A∪U=U，A∩U=A， (8) 補(bǔ)余律: A∪A′=U，； (9) 對合律: (A′)′=A; (10) 對偶律: (A∪B)′=A′∩B′，(A∩B)′=A′∪B′. 證我們證明(4)作為例子，其余留給讀者練習(xí).