經濟數學基礎精要與例解 節選

第1章 極限與連續 1.1 概念、性質與定理 1.1.1 函數 1.1.1.1 概念 1.設，如果對任意的 x ∈ X，在某個對應規則下有**的 y(y ∈ Y )與之對應，則稱 y是 x的函數，記為 y = f(x). X稱為函數 y = f(x)的定義域，定義域常記為 D(f)，而 f為對應規則， x為自變量， y為因變量.對固定的x ∈ D(f)，相對應的值 y常稱為函數值，可由 f(x)計算，即 y = f(x).函數值的全體稱為 y = f(x)的值域，常記為 R(f).這類函數稱為單變量單值實函數. 2.設，如果對任意的 x =(x1， ，xn) ∈ X，在某個對應規則下有**的 y(y ∈ Y )與之對應，則稱y是x或 x1， ，xn的函數，記為 y = f(x1， ，xn)或 y= f(x). X稱為函數 y = f(x1， ，xn)的定義域，定義域常記為 D(f)，而 f為對應規則， xi為第 i個自變量， y為因變量.對固定的 (x1， ，xn) ∈ D(f)，相對應的值 y常稱為函數值，可由 f(x1， ，xn)計算，即 y = f(x1， ，xn).函數值的全體稱為 y = f(x1， ，xn)的值域，常記為 R(f). 這類函數稱為多變量 (n元)單值實函數. 3.設 f(x1， ，xn)((x1， ，xn) ∈ D(f))是一個給定的函數，如果對任意的 (x1， ，xn) ∈ D(f)，存在正數 M使得 |f(x1， ，xn)| . M，則稱函數 f(x1， ，xn)是有界的. 依此， f(x1， ，xn)在點 (x10 ， ，x0 )附近有界指的是，存在正數 M和 δ，使) II， n0)2 + } 得，當 (x1， ，xn) ∈ (x1) ， ，xn) I(x1 . x1 +(xn . xn0 )2 　　4.設 f(x)(x ∈ D(f))是一個給定的函數，如果對任意的 x ∈ D(f)， f(.x)= f(x)成立，則稱 f(x)為偶函數.如果對任意的 x ∈ D(f)， f(.x)= .f(x)成立，則稱 f(x)為奇函數. 5.設 f(x)(x ∈ D(f))是一個給定的函數 ，如果存在數 T ，使得對任意的 x ∈ D(f)， f(x + T )= f(x)成立 ，則稱 f(x)為周期函數 ， T為周期 ，*小的正數 T稱為 f(x)的*小正周期. 6.設 f(x)(x ∈ D(f))是一個給定的函數 ，如果對任意的 x1，x2 ∈ D(f)，且 x1 f(x2))成立 ，則稱 f(x)為單調遞增 (減)函數 ;如果對任意的 x1，x2 ∈ D(f)，且 x1 　　7.設 f(x)(x ∈ D(f))是一個給定的函數 ，如果對任意的 x1，x2 ∈ D(f)和對任意的數 α ∈ [0， 1]，下列不等式成立 ，且等號僅當 x1 = x2，或 α=0，或 α =1時成立， f(αx1 + (1-α)x2) ≤ αf(x1) + (1-α)f(x2) (f(αx1 + (1-α)x2) ≥ αf(x1) + (1-α)f(x2))， 則稱 f(x)為上 (下)凹函數. 特別地，如果函數 f(x)(x ∈ D(f))是一元函數時，即對任意的 x1，x2 ∈ D(f)， α ∈ [0， 1]，下列不等式成立且等號僅當 x1 = x2，或 α =0，或 α =1時成立， f(αx1 + (1-α)x2) ≤ αf(x1) + (1-α)f(x2) (f(αx1 + (1-α)x2) ≥ αf(x1) + (1-α)f(x2))， 則稱 f(x)為上 (下)凹函數 .如果 f(x)在區間 I上是上 (下)凹函數 ，則區間 I稱為 f(x)的上 (下)凹區間. 8.動點 (x1， ，xn，f(x1， ，xn))((x1， ，xn) ∈ D(f))的軌跡稱為函數 y = f(x1， ，xn)的圖像. 1.1.1.2函數的運算 1.四則運算 給出函數 f(x)，x ∈ D(f)， g(x)，x ∈ D(g)，那么 f(x)與 g(x)的 和: f(x) ± g(x)， x ∈ D(f) ∩ D(g); 積: f(x)g(x)， x ∈ D(f) ∩ D(g); 商: fg((xx)) ， x ∈ D(f) ∩ D(g) .{x|g(x)=0}. 2.復合運算 給出函數 f(x)，x∈D(f)， g(x)，x ∈ D(g)，那么 f(x)與 g(x)的復合運算 (函數)為 f(g(x))， x ∈ D(g) ∩{x|g(x) ∈ D(f)}. 3.逆運算. 設 y = f(x)的定義域為 D(f)，值域為 R(f)，如果對任意一個 y ∈ R(f)，在 y = f(x)下有**的 x(x ∈ D(f))與之對應 ，則 x是 y的函數 ，并稱之為 y = f(x)的反函數.反函數通常記為 y = f.1(x)，其中， y ∈ D(f)，x ∈ R(f). 1.1.1.3性質 1.函數變量的虛變量特性. 函數相同 (等)當且僅當函數關系和定義域相同 ，與用什么字母無關 ，即變量是虛擬的 .例如 ， y = f(x)，s = f(t)，u = f(x)，y = f(v)， (x， t， v ∈ D(f))是同一函數 ，或說是相同 (等)的; y = f(x， t)與 y = f(u， v)， (x， t)， (u， v) ∈ D(f)是同一函數 ; z = f(x， y， t)， z = f(u， v， w)， y = f(x， u， t)， (x， y， t)， (u， v， w)， (x， u， t) ∈ D(f)是同一函數. 2. f(x)有界的充分必要條件為存在數 A， B使得對任意的 x ∈ D(f)，A ≤ f(x) ≤ B成立. 3.如果f(x)為奇函數，則曲線 y = f(x)關于原點對稱;如果 f(x)為偶函數，則曲線 y = f(x)關于 y軸對稱 .如果函數有反函數 y = f(x)，則曲線 y = f(x)與 y = f.1(x)關于直線 y = x對稱. 如果 fi(x)為奇 (偶)函數 ， i =1， ，n，則 f1(x)+ + fn(x)為奇 (偶)函數.當 n為偶數時， f1(x) fn(x)為偶函數;但當 n為奇數時， f1(x)？ fn(x)為奇函數. 如果 f(x)為奇函數， g(x)為偶函數，則 f(x)g(x)為奇函數.設 f(x)為任意一個函數，則 F (x)= f(x) . f(.x)為奇函數， G(x)= f(x)+ 1 f(.x)為偶函數，且 f(x)= [F (x)+ G(x)]. 如果 f(x)，g(x)均為奇 (2偶)函數 ，且可復合 ，則 f(g(x))也是奇函數 ;如果 f(x)為奇函數， g(x)為偶函數，且可復合，則 f(g(x))和 g(f(x))均為偶函數. 如果 f(x)為奇 (偶)函數，其反函數為 f.1(x)也是奇 (偶)函數. 4.一元函數的圖像是平面上的一條曲線 ，反之不然 ;多元函數的圖像是空間中的一張曲面，反之不然. 1.1.1.4一些常用的函數 1.初等函數:冪函數、三角函數、對數函數、反三角函數和指數函數. 2.兩個非初等函數 分段函數: I為區間，端點稱為 f(x)的分段點; 變上限函數: F (x)=f(t)dx; 和函數: S(x)= anx n . 3.正整數集上的函數:數列: 級數部分和: 1.2極限 1.1.2.1概念 1. f(x)在 x0處的極限定義. lim f(x)= L的定義設 f(x)在 x0點附近有定義.如果 x無限接近 x0 x→x0 時， f(x)接近一個定數 L，那么，數 L是 x → x0時 f(x)在 x0點處的極限，記為 lim f(x)= L. 如果 x無限接近 x0時， f(x)不接近一個定數 L，那么，當 x → x0時 f(x)在 x0點處的極限不存在，或者說， lim f(x)不存在. x→x0 “x無限接近 x0時， f(x)接近一個定數 L”一個等價的定量定義是:對任意 ε> 0，存在 δ> 0，使得當 0 0，對任意 δ> 0，使得當 0 0，存在 δ> 0，使得當 0 　　lim + f(x)= L (左極限)的定義如果對任意 ε> 0，存在 δ> 0，使得當.δ　　2. f(x)在 ∞處的極限定義. lim f(x)= L的定義如果對任意 ε> 0，存在 X> 0，使得當 |x| >X時， |f(x) . L| 　　lim f(x)= L (左極限 )的定義如果對任意 ε> 0，存在 X> 0，使得當 x>X時， |f(x) . L| 　　lim f(x)= L (右極限 )的定義如果對任意 ε> 0，存在 X> 0，使得當 x 0，存在整數 N> 0，使得當 x>N時， |an - L| 　　4.多元函數的極限定義. 類似于一元函數，給出多元函數的極限定義，這里僅以二元函數為例. lim f(x， y)= L的定義如果對任意 ε> 0，存在 δ> 0，使得當 0 < |x-x0| < δ， 0 < |y-y0| 　　lim f(x，