空間結構動力學等效建模與控制(精) 節選

第1章 桁架結構動力學等效建模 大型空間桁架結構通常是由多個基本形式或結構相同的桁架單元構成的周期性結構。對于梁式或板式周期桁架結構，人們通常采用連續體等效的方法將其降階為梁或板模型，繼而利用這一高度降階的模型進行結構的靜動力計算與分析。平面四邊形桁架單元往往是大型空間結構如環形天線等基本組成單元，將其等效為空間梁，從而得到與空間桁架結構動力學等效的一維空間梁結構模型。 本章基于能量等效原理，獲得了桁架結構周期單元等效力學模型，并進一步將空間環形桁架結構簡化為標準彈性圓環模型。數值仿真驗證了所提出的結構動力學等效模型的精度。 1.1 周期桁架單元力學模型 大型空間天線或陣列的支撐骨架往往是由平面周期單元構成。例如，美國TRW Astro Aerospace 公司為通信衛星 Thuraya 研制的可展開天線，該天線口徑達12.25m，質量只有 55kg，就是由兩種平面周期桁架單元交替相連而組成的環形周期結構，如圖1.1.1所示。組成環形桁架結構的周期單元可劃分為兩類平面矩形桁架，分別由 5 根構件組成：2根橫向構件、2根豎向構件和1根斜向構件，如圖 1.1.2 所示。這些構件之間采用齒輪副、鉸鏈等關節連接，在環形桁架展開到位以后鎖定，從而形成具有一定剛度的支撐結構。首先，不計入齒輪副、鉸鏈等關節間隙非線性，建立環形桁架結構的力學模型。 圖1.1.1 環形桁架結構與力學模型 為了描述周期桁架單元上任意一點的運動，我們在周期單元的中心處建立Cartesian 坐標系 O-xyz，其中 x 軸沿單元長度方向、z 軸沿單元高度方向、y軸由右手定則確定，如圖 1.1.2 所示。對于圖 1.1.2 中的平面周期單元，其橫截面(垂直于 x 軸的截面) 退化為沿 z 軸方向的一條直線。這里稱周期單元的四個關節為節點，關節質量為 mi(i=1～4)。 圖1.1.2 平面周期桁架單元 考慮桁架結構低頻振動，采用經典梁理論中的平截面假定，即桁架結構發生整體彎曲和扭轉變形時的橫截面保持為平面。這樣，周期單元橫截面上任意一點的位移沿截面高度線性變化。記周期桁架單元橫截面上任意一點 P 沿三個坐標軸正向的位移分別為 ux、uy 和 uz，則 (1.1.1) 式中，u0x(x)、u0y(x) 和 u0z(x) 為橫截面中心處 (z=0) 的位移，和分別為橫截面繞 x 軸和 y 軸的轉角，ε0z(x) 為橫截面沿 z 軸方向的平均正應變。 將式(1.1.1) 表示的周期單元任意橫截面上的位移在坐標原點處進行Taylor展開，得到 (1.1.2) 式中，ux0、uy0 和 uz0 為周期單元中心處的位移，和為周期單元中心處的橫截面轉角，滿足 (1.1.3) εx0、εz0 和 γxz0 為周期單元中心處的正應變和剪切應變，κx0、κy0 和 κz0 為周期單元中心處的扭曲率和彎曲率，滿足 (1.1.4) 注意到，對于平面周期單元，由于單元橫截面只在z軸方向有尺寸，而在y軸方向無尺寸，故在式 (1.1.2) 中只計入了 x-z 平面內的剪切變形 γxz0，沒有考慮 x-y平面內的剪切變形。 對于桁架結構低頻振動，一個周期單元內的應變分量可以近似認為是常量，則位移場式 (1.1.2) 近似為 (1.1.5) 若桁架中各構件為固支連接，則構件變形為彎曲和扭轉，各個構件的連接點處除線位移外，還將產生結點轉角。對桁架結構進行連續體等效建模時，由于經典連續體理論 (Classical Continuum Theory) 中任意質點僅有三個線位移而無角位移，故采用經典連續體理論無法直接描述剛性連接桁架結構的結點轉角。解決上述問題的一種方法是采用更高級的微極連續體理論 (Micropolar Continuum Theory)，考慮介質的粒子特征，認為在連續體內每一點上除了上述三個位移自由度外，還有三個獨立的轉動自由度 (Eremeyev， Lebedev and Altenbach， 2013)。然而，基于微極連續體理論的等效建模方法不僅等效過程復雜且等效后得到的微極連續體模型不便于工程應用。另一種更為簡便的方法是采用經典連續體理論中微元體的剛體轉角來近似桁架剛結點的轉動。 根據經典彈性連續體理論 (程堯舜， 2009)，彈性體變形引起任意一點 P 附近的微元體繞該點作剛體轉動，轉動角度為 (1.1.6) 式中，θx、θy和θz分別為繞x、y和z軸之轉角。考慮到平面周期桁架單元僅在