序言
第 1章　鏡子的獨白　1
1．1　誰是老實人．1
1．1．1　鏡子呀鏡子．1
1．1．2　誰是老實人．3
1．1．3　相同的回答．7
1．1．4　回答是沉默．8
1．2　邏輯謎題．9
1．2．1　愛麗絲、博麗絲和克麗絲．9
1．2．2　用表格來想　10
1．2．3　出題者的心思　14
1．3　帽子是什么顏色　15
1．3．1　不知道　15
1．3．2　對出題者的驗證　18
1．3．3　鏡子的獨白　19
第 2章　皮亞諾算術　23
2．1　泰朵拉　23
2．1．1　皮亞諾公理　23
2．1．2　無數個愿望　27
2．1．3　皮亞諾公理．PA1．28
2．1．4　皮亞諾公理．PA2．29
2．1．5　養大　32
2．1．6　皮亞諾公理 PA3．34
2．1．7　小的？　35
2．1．8　皮亞諾公理．PA4．36
2．2　米爾嘉　39
2．2．1　皮亞諾公理 PA5．42
2．2．2　數學歸納法　43
2．3　在無數腳步之中　49
2．3．1　有限？無限？　49
2．3．2　動態？靜態？　50
2．4　尤里　52
2．4．1　加法運算？　52
2．4．2　公理呢？　53
第3章　伽利略的猶豫　57
3．1　集合　57
3．1．1　美人的集合　57
3．1．2　外延表示法　58
3．1．3　餐桌　60
3．1．4　空集　61
3．1．5　集合的集合　62
3．1．6　公共部分　64
3．1．7　并集　67
3．1．8　包含關系　68
3．1．9　為什么要研究集合　71
3．2　邏輯　72
3．2．1　內涵表示法　72
3．2．2　羅素悖論　74
3．2．3　集合運算和邏輯運算　77
3．3　無限　79
3．3．1　雙射鳥籠　79
3．3．2　伽利略的猶豫　83
3．4　表示　86
3．4．1　歸途　86
3．4．2　書店　87
3．5　沉默　88
第4章　無限接近的目的地　91
4．1　家中　91
4．1．1　尤里　91
4．1．2　男生的“證明”　92
4．1．3　尤里的“證明”　93
4．1．4　尤里的“疑惑”　96
4．1．5　我的講解　97
4．2　超市　99
4．3　音樂教室　104
4．3．1　字母的導入　104
4．3．2　極限　106
4．3．3　憑聲音決定音樂　108
4．3．4　極限的計算　111
4．4　歸途　119
第5章　萊布尼茨之夢　123
5．1　若尤里，則非泰朵拉　123
5．1．1　“若……則……”的含義　123
5．1．2　萊布尼茨之夢　126
5．1．3　理性的界限？　128
5．2　若泰朵拉，則非尤里　129
5．2．1　備戰高考　129
5．2．2　上課　131
5．3　若米爾嘉，則米爾嘉　133
5．3．1　教室　133
5．3．2　形式系統　135
5．3．3　邏輯公式　137
5．3．4　“若……則……”的形式　140
5．3．5　公理　142
5．3．6　證明論　143
5．3．7　推理規則　145
5．3．8　證明和定理　147
5．4　不是我，還是我　149
5．4．1　家中　149
5．4．2　形式的形式　150
5．4．3　含義的含義　152
5．4．4　若“若……則……”，則……　153
5．4．5　邀約　157
第6章　-δ語言　159
6．1　數列的極限　159
6．1．1　從圖書室出發　159
6．1．2　到達階梯教室　160
6．1．3　理解復雜式子的方法　164
6．1．4　看絕**　166
6．1．5　看“若……則……”　169
6．1．6　看“所有”和“某個”　170
6．2　函數的極限　174
6．2．1　-δ　174
6．2．2　-δ的含義　177
6．3　摸底考試　178
6．3．1　上榜　178
6．3．2　靜寂的聲音、沉默的聲音　179
6．4　“連續”的定義　181
6．4．1　圖書室　181
6．4．2　在所有點處都不連續　184
6．4．3　是否存在在一點處連續的函數　186
6．4．4　逃出無限的迷宮　187
6．4．5　在一點處連續的函數！　188
6．4．6　訴衷腸　192
第7章　對角論證法　197
7．1　數列的數列　197
7．1．1　可數集　197
7．1．2　對角論證法　201
7．1．3　挑戰：給實數編號　209
7．1．4　挑戰：有理數和對角論證法　213
7．2　形式系統的形式系統　215
7．2．1　相容性和完備性　215
7．2．2　哥德爾不完備定理　222
7．2．3　算術　224
7．2．4　形式系統的形式系統　225
7．2．5　詞匯的整理　229
7．2．6　數項　229
7．2．7　對角化　230
7．2．8　數學的定理　232
7．3　失物的失物　233
第8章　兩份孤獨所衍生的產物　239
8．1　重疊的對　239
8．1．1　泰朵拉的發現　239
8．1．2　我的發現　245
8．1．3　誰都沒發現的事實　246
8．2　家中　247
8．2．1　自己的數學　247
8．2．2　表現的壓縮　247
8．2．3　加法運算的定義　251
8．2．4　教師的存在　254
8．3　等價關系　255
8．3．1　畢業典禮　255
8．3．2　對衍生的產物　257
8．3．3　從自然數到整數　258
8．3．4　圖　259
8．3．5　等價關系　264
8．3．6　商集　268
8．4　餐廳　272
8．4．1　兩個人的晚飯　272
8．4．2　一對翅膀　272
8．4．3　無力考試　275
第9章　令人迷惑的螺旋樓梯　277
9．1　π弧度　277
9．1．1　不高興的尤里　277
9．1．2　三角函數　279
9．1．3　sin45°　282
9．1．4　sin60°　286
9．1．5　正弦曲線　290
9．2　π弧度　294
9．2．1　弧度　294
9．2．2　教人　296
9．3　π弧度　297
9．3．1　停課　297
9．3．2　余數　298
9．3．3　燈塔　300
9．3．4　海邊　303
9．3．5　消毒　304
第 10章　哥德爾不完備定理　307
10．1　雙倉圖書館　307
10．1．1　入口　307
10．1．2　氯　308
10．2　希爾伯特計劃　310
10．2．1　希爾伯特　310
10．2．2　猜謎　312
10．3　哥德爾不完備定理　316
10．3．1　哥德爾　316
10．3．2　討論　318
10．3．3　證明的概要　320
10．4　春天—形式系統 P．320
10．4．1　基本符號　320
10．4．2　數項和符號　322
10．4．3　邏輯公式　323
10．4．4　公理　324
10．4．5　推理規則　327
10．5　午飯時間　328
10．5．1　元數學　328
10．5．2　用數學研究數學　329
10．5．3　蘇醒　329
10．6　夏天—哥德爾數　331
10．6．1　基本符號的哥德爾數　331
10．6．2　序列的哥德爾數　332
10．7　秋天—原始遞歸性　335
10．7．1　原始遞歸函數　335
10．7．2　原始遞歸函數（謂詞）的性質　338
10．7．3　表現定理　340
10．8　冬天—通往可證明性的漫長之旅　343
10．8．1　整理行裝　343
10．8．2　數論　344
10．8．3　序列　346
10．8．4　變量·符號·邏輯公式　348
10．8．5　公理、定理、形式證明　358
10．9　新春—不可判定語句　362
10．9．1　“季節”的確認　362
10．9．2　種子—從含義的世界到形式的世界　364
10．9．3　綠芽—p的定義　366
10．9．4　枝杈—r的定義　367
10．9．5　葉子—從 A1往下走　368
10．9．6　蓓蕾—從 B1開始往下走　369
10．9．7　不可判定語句的定義　369
10．9．8　梅花—．IsProvable(g)．370
10．9．9　桃花—．IsProvable(not(g))的證明　372
10．9．10　櫻花—證明形式系統 P是不完備的　374
10．10　不完備定理的意義　376
10．10．1　“‘我’是無法證明的”　376
10．10．2　第 二不完備定理的證明之概要　380
10．10．3　不完備定理衍生的產物　383
10．10．4　數學的界限？　384
10．11　帶上夢想　386
10．11．1　并非結束　386
10．11．2　屬于我　387
尾　聲　391
后　記　395
參考文獻和導讀　399