序言
第 1章 柯尼斯堡七橋問題 1
1．1 尤里 1
1．2 一筆畫問題 2
1．3 從簡單的圖開始 7
1．4 圖與次數 11
1．5 這也是數學嗎 15
1．6 逆定理的證明 18

第 2章 默比烏斯帶和克萊因瓶 35
2．1 樓頂 35
2．1．1 泰朵拉 35
2．1．2 默比烏斯帶 36
2．2 教室 39
2．3 圖書室 40
2．3．1 米爾嘉 40
2．3．2 分類 43
2．3．3 閉曲面的分類 45
2．3．4 可定向曲面 46
2．3．5 不可定向曲面 49
2．3．6 展開圖 51
2．3．7 連通和 63
2．4 歸途 72

第3章 泰朵拉的身邊 75
3．1 家人的身邊 75
3．2 0 的附近 77
3．2．1 練習 77
3．2．2 全等與相似 81
3．2．3 對應關系 84
3．3 實數a的附近 86
3．3．1 全等、相似、同胚 86
3．3．2 連續函數 88
3．4 點a的附近 94
3．4．1 前往異世界的準備 94
3．4．2 距離的世界：實數a 的δ 鄰域 95
3．4．3 距離的世界：開集 96
3．4．4 距離的世界：開集的性質 98
3．4．5 旅程：從距離的世界到拓撲的世界 101
3．4．6 拓撲的世界：開集公理 103
3．4．7 拓撲的世界：開鄰域 106
3．4．8 拓撲的世界：連續映射 108
3．4．9 同胚映射 115
3．4．10 不變性 116
3．5 泰朵拉的身邊 117

第4章 非歐幾何 123
4．1 球面幾何 123
4．2 現在和未來之間 130
4．3 雙曲幾何 131
4．3．1 所謂的“學習” 131
4．3．2 非歐幾何 132
4．3．3 鮑耶與羅巴切夫斯基 137
4．3．4 自己家 141
4．4 跳出勾股定理 142
4．4．1 理紗 142
4．4．2 距離的定義 143
4．4．3 龐加萊圓盤模型 145
4．4．4 半平面模型 152
4．5 超越平行公理 153
4．6 自己家 156

第5章 跳入流形 159
5．1 跳出日常 159
5．1．1 輪到我了 159
5．1．2 為了打倒惡龍 160
5．1．3 尤里的疑問 161
5．1．4 考慮低維的情況 162
5．1．5 會歪成什么樣子呢 168
5．2 跳入非日常 174
5．2．1 櫻花樹下 174
5．2．2 內外翻轉 175
5．2．3 展開圖 177
5．2．4 龐加萊猜想 182
5．2．5 二維球面 183
5．2．6 三維球面 185
5．3 要跳入，還是跳出 187
5．3．1 醒過來時 187
5．3．2 Eulerians 188

第6章 捕捉看不到的形狀 193
6．1 捕捉形狀 193
6．1．1 沉默的形狀 193
6．1．2 問題的形狀 195
6．1．3 發現 197
6．2 用群來捕捉形狀 199
6．2．1 以數為線索 199
6．2．2 線索是什么 204
6．3 用自環來捕捉形狀 206
6．3．1 自環 206
6．3．2 自環上的同倫 210
6．3．3 同倫類 213
6．3．4 同倫群 216
6．4 掌握球面 218
6．4．1 自己家 218
6．4．2 一維球面的基本群 218
6．4．3 二維球面的基本群 219
6．4．4 三維球面的基本群 221
6．4．5 龐加萊猜想 221
6．5 被限制的形狀 223
6．5．1 確認條件 223
6．5．2 捕捉我所不知道的自己 225

第7章 微分方程的溫度 229
7．1 微分方程 229
7．1．1 音樂教室 229
7．1．2 教室 231
7．1．3 指數函數 236
7．1．4 三角函數 243
7．1．5 微分方程的目的 245
7．1．6 彈簧振動 247
7．2 牛頓冷卻定律 253

第8章 高斯絕妙定理 263
8．1 車站前 263
8．1．1 尤里 263
8．1．2 讓人驚訝的事 267
8．2 自己家 268
8．2．1 媽媽 268
8．2．2 罕有之物 271
8．3 圖書室 272
8．3．1 泰朵拉 272
8．3．2 理所當然的事 275
8．4 加庫拉 277
8．4．1 米爾嘉 277
8．4．2 傾聽 277
8．4．3 解題 279
8．4．4 高斯曲率 283
8．4．5 絕妙定理 286
8．4．6 齊性和各向同性 288
8．4．7 回禮 289

第9章 靈感與毅力 291
9．1 三角函數訓練 291
9．1．1 靈感與毅力 291
9．1．2 單位圓 292
9．1．3 正弦曲線 296
9．1．4 從旋轉矩陣到兩角和公式 297
9．1．5 從兩角和公式到積化和差公式 298
9．1．6 媽媽 300
9．2 合格判定模擬考 302
9．2．1 不要緊張 302
9．2．2 不要被騙 302
9．2．3 需要靈感還是毅力 305
9．3 看穿算式的形式 311
9．3．1 概率密度函數的研究 311
9．3．2 拉普拉斯積分的研究 317
9．4 傅里葉展開式 322
9．4．1 靈感 322
9．4．2 傅里葉展開式 324
9．4．3 超越毅力 329
9．4．4 超越靈感 331

第 10章 龐加萊猜想 335
10．1 公開研討會 335
10．1．1 課程結束之后 335
10．1．2 午餐時間 336
10．2 龐加萊 337
10．2．1 形狀 337
10．2．2 龐加萊猜想 339
10．2．3 瑟斯頓的幾何化猜想 343
10．2．4 哈密頓的里奇流方程 345
10．3 數學家們 346
10．3．1 年表 346
10．3．2 菲爾茲獎 348
10．3．3 千禧年大獎難題 350
10．4 哈密頓 352
10．4．1 里奇流方程式 352
10．4．2 傅里葉的熱傳導方程 353
10．4．3 顛覆性的想法 354
10．4．4 哈密頓計劃 356
10．5 佩雷爾曼 359
10．5．1 佩雷爾曼的論文 359
10．5．2 再前進一步 362
10．6 傅里葉 363
10．6．1 傅里葉的時代 363
10．6．2 熱傳導方程 364
10．6．3 分離變量法 368
10．6．4 重疊積分 370
10．6．5 傅里葉積分 371
10．6．6 觀察類似的式子 375
10．6．7 回到里奇流方程 376
10．7 我們 377
10．7．1 從過去到未來 377
10．7．2 冬天來了 378
10．7．3 春天不遠了 379

尾聲 381
后記 385
參考文獻和導讀 389