奧秘神奇的數(shù)學(xué)王國 節(jié)選

　　《奧秘神奇的數(shù)學(xué)王國》：　　人類**個(gè)認(rèn)識的數(shù)系，就是常說的“自然數(shù)系”。但是，隨著人類認(rèn)識的發(fā)展，自然數(shù)系的缺陷也就逐漸顯露出來。首先，自然數(shù)系是一個(gè)離散的、而不是稠密的數(shù)系，因此，作為量的表征，它只能限于去表示一個(gè)單位量的整數(shù)倍，而無法表示它的部分。同時(shí)，作為運(yùn)算的手段，在自然數(shù)系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運(yùn)算。這些缺陷，由于分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的出現(xiàn)而得以彌補(bǔ)。有趣的是這些分?jǐn)?shù)也都帶有強(qiáng)烈的地域特征。巴比倫的分?jǐn)?shù)是六十進(jìn)位的，埃及采用的是單分?jǐn)?shù)，阿拉伯的分?jǐn)?shù)更加復(fù)雜：單分?jǐn)?shù)、主分?jǐn)?shù)和復(fù)合分?jǐn)?shù)。這種繁復(fù)的分?jǐn)?shù)表示必然導(dǎo)致分?jǐn)?shù)運(yùn)算方法的繁雜，所以歐洲分?jǐn)?shù)理論長期停滯不前，直到15世紀(jì)以后才逐步形成現(xiàn)代的分?jǐn)?shù)算法。與之形成鮮明對照的是中國古代在分?jǐn)?shù)理論上的卓越貢獻(xiàn)。原始的分?jǐn)?shù)概念來源于對量的分割。但是，《九章算術(shù)》中的分?jǐn)?shù)是從除法運(yùn)算引入的。中國古代分?jǐn)?shù)理論的高明之處是它借助于“齊同術(shù)”把握住了分?jǐn)?shù)算法的精髓：通分。而分?jǐn)?shù)系是一個(gè)稠密的數(shù)系，它對于加、乘、除三種運(yùn)算是封閉的。為了使得減法運(yùn)算在數(shù)系內(nèi)也通行無阻，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)就是必然的了。盈余與不足、收入與支出、增加與減少是負(fù)數(shù)概念在生活中的實(shí)例。　　負(fù)數(shù)雖然通過阿拉伯人的著作傳到了歐洲，但16世紀(jì)和17世紀(jì)的大多數(shù)數(shù)學(xué)家并不承認(rèn)它們是數(shù)，或者即使承認(rèn)了也并不認(rèn)為它們是方程的根。如丘凱和斯蒂費(fèi)爾都把負(fù)數(shù)說成是荒謬的數(shù)，是“無稽之零下”。卡丹把負(fù)數(shù)作為方程的根，但認(rèn)為它們是不可能的解，僅僅是一些記號；他把負(fù)根稱作是虛有的。韋達(dá)完全不要負(fù)數(shù)，巴斯卡則認(rèn)為從O減去4純粹是胡說。負(fù)數(shù)是人類**次越過正數(shù)域的范圍。在數(shù)系發(fā)展的歷史進(jìn)程中，現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)有時(shí)不僅無用，反而會成為一種阻礙。　　無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷了一個(gè)漫長的過程。古希臘人把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的，然而，一條直線上的有理數(shù)盡管是“稠密”，但是它卻露出了許多“孔隙”，而且這種“孔隙”多得“不可勝數(shù)”。15世紀(jì)，達(dá)·芬奇把它們稱為“無理的數(shù)”，開普勒稱它們是“不可名狀”的數(shù)。這些“無理”而又“不可名狀”的數(shù)，雖然在后來的運(yùn)算中漸漸被使用，但是它們究竟是不是實(shí)實(shí)在在的數(shù)，卻一直是個(gè)困擾人的問題。中國古代數(shù)學(xué)在處理開方問題時(shí)，也不可避免地碰到無理根數(shù)。對于這種“開之不盡”的數(shù)，《九章算術(shù)》直截了當(dāng)?shù)亍耙悦婷庇枰越邮埽瑒⒒兆⑨屩械摹扒笃湮?shù)”，實(shí)際上是用10進(jìn)小數(shù)來無限逼近無理數(shù)。　　17-18世紀(jì)微積分的發(fā)展幾乎吸引了所有數(shù)學(xué)家的注意力，恰恰是人們對微積分基礎(chǔ)的關(guān)注，使得實(shí)數(shù)域的連續(xù)性問題再次凸顯出來。因?yàn)椋⒎e分是建立在極限運(yùn)算基礎(chǔ)上的變量數(shù)學(xué)，而極限運(yùn)算，需要一個(gè)封閉的數(shù)域。無理數(shù)正是實(shí)數(shù)域連續(xù)性的關(guān)鍵。法國數(shù)學(xué)家柯西給出了回答：無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。然而按照柯西的極限定義，所謂有理數(shù)序列的極限，指預(yù)先存在一個(gè)確定的數(shù)，使它與序列中各數(shù)的差值，當(dāng)序列趨于無窮時(shí)，可以任意小。1872年，克菜因提出了著名的“埃爾朗根綱領(lǐng)”，維爾斯特拉斯給出了處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)的著名例子。同時(shí)，實(shí)數(shù)的三大派理論：戴德金“分割”理論、康托的“基本序列”理論以及維爾斯特拉斯的“有界單調(diào)序列”理論在德國出現(xiàn)。實(shí)數(shù)的三大派理論本質(zhì)上是對無理數(shù)給出嚴(yán)格定義，從而建立了完備的實(shí)數(shù)域。實(shí)數(shù)域的構(gòu)造成功，使得兩千多年來存在于算術(shù)與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數(shù)不再是“無理的數(shù)”了。　　……