樣條函數與再生核 節選

    樣條函數的系統研究始于1946年Schoenberg的長篇論文．對
樣條函數接觸不多的人，樣條函數給他的印象也許只是常見的三
次樣條，只是具體數值計算的一個工具．事實上，即使在20世紀70
年代就已成熟的經典樣條理論——(一元)多項式樣條理論也是相
當豐富而深刻的．形成于1980年代以前而在這以后得到迅速發展
的還有多元樣條、參數樣條曲線(曲面)、Hi[bert空間抽象樣條等領
域．每一個領域都取得了極豐富的理論和應用成果，且還在繼續發
展著．樣條函數以其獨特的局部性和良好的逼近性，不僅在數據擬
合、函數逼近、數值積分、微分與積分方程數值解和線面造型設計
等方面有著廣泛的應用，而且還與有限元、小波分析、*優控制有
著密切的聯系．抽象樣條理論表明，各種(插值或光順)樣條函數可
以統一描述成相應的Hi[bert空間在其一類有限維子空間上的投
影，而且由這種投影引入的樣條插值算子與*佳插值逼近算子是
一致的．因此，樣條理論為Hilbert空間結構和算子方程求解的研
究提供了新的方法．
    核函數的概念*初來源于積分算子理論，它們通常是具有正
定對稱性的二元函數K(t，s)．在各種核函數的研究和應用中，人
們逐漸認識到：一個二元函數K(t，s)具有正定對稱性和存在一個
函數型Hilbert空間使得K(t，s)對該空間具有再生性，兩者是等
價的．這就啟發人們將再生性作為核函數的本質屬性進行研究．
1950年，Aromajn發表的長篇論文標志著再生核理論的誕生．隨
后，再生核在積分方程、偏微分方程邊值問題、復變函數和奇異積
 分等方面有重要的應用．1980年代以來，隨著具體再生核空問中
再生核的表示和函數逼近的研究，使得再生核為數值分析帶來r
全新的理論和方法，并在積分和微分方程解的精確表示和近似汁
算中取得了不少成果．目前，再生核方法已滲透到了許多研究領
域，例如信號處理、隨機估計、神經網絡、小波變換和調和分析等．
    早在1966年，De Boor就用再生核來證明樣條插值是適當的
Hilbert空間中的正交投影過程．在20世紀70和80年代，Weinmt
和Wahba等通過再生核使得(插值與光順)樣條和隨機過程發生
了聯系，由此不僅建立了樣條函數的隨機遞推算法，更為重要的是
開辟了統計學的一個新分支——概率統計中的樣條函數方法，取
得了豐碩的成果．研究還表明插值或光順樣條可以表示成再生核
的線性組合．著名統計學家J．0．Ramsay和B．w．Silvennan于2(X)5
年在他們的著作"Functional Data Analvsis"中指出：從70年代以米，
再生核在樣條函數理論中扮演著核心的角色．但是，國內的研究工
作很少體現樣條函數與再生核的密切結合，本書的日的之一是試。
圖能稍許彌補這～缺陷．
    本書較為系統地介紹了樣條函數與再生核的基礎理論，在樣
條函數的基礎部分著重介紹了B一樣條和LB一樣條的構造和遞
推性；系統地研究了多項式再生核與微分算子再生核的構造和計
算，對一類常系數微分算子確定的再生核的計算進行了詳細討論；
用再生核方法證明了自然L一插值樣條的連續性質，給出了自然L
一插值與光順樣條的遞推算法；提出了由可逆線性系統確定的算
子樣條的概念，詳細研究了這類算子樣條的性質，使得奇次樣條和
自然L一樣條都成為這類算子樣條的特例；討論了微分算子樣條
的*佳逼近性和再生核空間中線性泛函的*佳逼近；在抽象Hil—
bert空間中研究了抽象算子樣條，并由此討論了算子方程的插值
逼近解及誤差估計；在抽象Hilbert空間中探討了抽象算子光順樣
條，提出了算 

解的表示和誤差估計．
    本書除了樣條函數與再生核的基礎理論(主要有第l章、3．6
節、第4章、第5章的前三節)部分外，其余部分的主要結果來自于
作者多年的研究工作．由于有些研究工作尚不夠完善，且作者水平
有限，再加上整理成書的時間比較倉促，錯誤在所難免，請讀者批
評指正．作者希望，本書的出版不僅是對以往工作的回顧，而且是
今后繼續研究的基礎．
    作者在多年的研究中，先后幾次得到國防科技大學科研基金
的資助，本書的出版也得到國防科技大學基礎研究基金的支持．作
者的研究工作曾一直得到王正明教授、朱健民教授的理解和鼓勵，
得到馮良貴、成禮智、謝政、宋松和等教授的支持和幫助．作者在研
究工作的初期與方逵教授、朱健民教授和黃建華博士有過合作，這
些合作給作者留下了愉快的回憶．我的學生江悅和張偉也為本書
的形成做過～些工作．作者對以上的單位和個人一并表示衷心的
感謝!還要感謝國防科技大學出版社為本書的出版所付出的辛勤
勞動．
    張新建
2008年1月于長沙