目 錄 １ ／ **章 多項式 § １基本題型及其常用解題方法 ……………………………………………… (１) § １求商式與余式 ……………………………………………………… (１) § １整除性的判定及其證明 …………………………………………… (１) § １*大公因式的計算、判定及其證明 ……………………………… (６) § １互素的判定及其證明 ……………………………………………… (８) § １整系數(shù)多項式有理根的計算與判定 ……………………………… (９) § １可約與不可約多項式的判定及其證明 ………………………… (１０) § １重因式(重根)及其重數(shù)的計算與判定 ………………………… (１２) § １多項式相等(多項式函數(shù)相等) ………………………………… (１３) § １多項式的因式分解 ……………………………………………… (１５) § １例題選講 ………………………………………………………………… (１７) § １整除性的判定及其證明的例題 ………………………………… (１７) § １*大公因式的計算、判定及其證明的例題 ……………………… (１９) § １互素的判定及其證明的例題 …………………………………… (２０) § １整系數(shù)多項式有理根的計算與判定的例題 …………………… (２０) § １可約與不可約多項式的判定及其證明的例題 ………………… (２２) § １重因式(重根)及其重數(shù)的計算與判定的例題 ………………… (２４) § １多項式相等(多項式函數(shù)相等)的例題 ………………………… (２６) § １多項式的因式分解的例題 ……………………………………… (２７) § １練習題 …………………………………………………………………… (２８) § １北大與北師大版教材習題 ……………………………………… (２８) 參考答案 ……………………………………………………………………… (２９) § １各高校研究生入學考試原題 …………………………………… (３０) 參考答案 ……………………………………………………………………… (３３) ３４ ／ 第二章 行列式 § ２求行列式的常用解題方法 ……………………………………………… (３４) § ２利用行列式的定義 ……………………………………………… (３４) § ２利用降階法 ……………………………………………………… (３４) § ２利用三角形法 …………………………………………………… (３５) § ２利用遞推關系法 ………………………………………………… (３９) § ２利用行列式的性質 ……………………………………………… (４１) § ２利用方陣行列式的性質 ………………………………………… (４３) § ２利用特征值 ……………………………………………………… (４４) § ２例題選講 ………………………………………………………………… (４４) § ２練習題 …………………………………………………………………… (５２) § ２北大與北師大版教材習題 ……………………………………… (５２) 參考答案 ……………………………………………………………………… (５５) § ２各高校研究生入學考試原題 …………………………………… (５５) 參考答案 ……………………………………………………………………… (６１) ６２ ／ 第三章 線性方程組 § ３基本題型及其常用解題方法 …………………………………………… (６２) § ３求齊次線性方程組的基礎解系與通解 ………………………… (６２) § ３求非齊次線性方程組的通解 …………………………………… (６３) § ３線性方程組有解與無解的判定 ………………………………… (６５) § ３向量的線性相關與線性無關的判定 …………………………… (６８) § ３矩陣與向量組的秩及其極大無關組的計算與判定 …………… (７０) § ３討論一個向量是否能由一個給定的向量組線性表出 ………… (７４) § ３矩陣與向量組的等價 …………………………………………… (７４) § ３例題選講 ………………………………………………………………… (７５) § ３求齊次線性方程組的基礎解系與通解的例題 ………………… (７５) § ３求非齊次線性方程組的通解的例題 …………………………… (７９) § ３線性方程組有解與無解的判定的例題 ………………………… (８０) § ３向量的線性相關與線性無關的判定的例題 …………………… (８４) § ３矩陣與向量組的秩及其極大無關組的計算與判定的例題 …… (８５) § ３討論一個向量是否能由一個給定的向量組線性表出的例題 …… (８７) § ３矩陣與向量組的等價的例題 …………………………………… (８８) § ３練習題 …………………………………………………………………… (８９) § ３北大與北師大版教材習題 ……………………………………… (８９) 參考答案 ……………………………………………………………………… (９１) § ３各高校研究生入學考試原題 …………………………………… (９１) 參考答案 …………………………………………………………………… (１０３) １０４ ／ 第四章 矩陣 § ４基本題型及其常用解題方法 …………………………………………… (１０４) § ４矩陣可逆的判定與證明和逆矩陣的計算 ……………………… (１０４) § ４矩陣的冪的計算 ………………………………………………… (１０８) § ４求矩陣 …………………………………………………………… (１１１) § ４解矩陣方程 ……………………………………………………… (１１３) § ４例題選講 ………………………………………………………………… (１１４) § ４矩陣可逆的判定與證明和逆矩陣的計算的例題 ……………… (１１４) § ４矩陣的冪的計算的例題 ………………………………………… (１１５) § ４求矩陣的例題 …………………………………………………… (１１６) § ４解矩陣方程的例題 ……………………………………………… (１２１) § ４練習題 …………………………………………………………………… (１２１) § ４北大與北師大版教材習題 ……………………………………… (１２１) 參考答案 …………………………………………………………………… (１２４) § ４各高校研究生入學考試原題 …………………………………… (１２４) 參考答案 …………………………………………………………………… (１３７) １３８ ／ 第五章 二次型 § ５基本題型及其常用解題方法 …………………………………………… (１３８) § ５求二次型對應的矩陣與秩 ……………………………………… (１３８) § ５二次型的標準形與規(guī)范形的計算 ……………………………… (１３９) § ５求實二次型的正、負慣性指數(shù)，符號差 ………………………… (１４１) § ５正定二次型(矩陣)的判定與證明……………………………… (１４２) § ５半正定、負定與半負定二次型(矩陣)的判定與證明 ………… (１４３) § ５例題選講 ………………………………………………………………… (１４７) § ５求二次型對應的矩陣與秩的例題 ……………………………… (１４７) § ５二次型的標準形與規(guī)范形的計算的例題 ……………………… (１４８) § ５求實二次型的正、負慣性指數(shù)，符號差的例題 ………………… (１５２) § ５正定二次型的判定與證明的例題 ……………………………… (１５４) § ５半正定、負定與半負定二次型(矩陣)的判定與證明的例題 … (１５８) § ５練習題 …………………………………………………………………… (１６１) § ５北大與北師大版教材習題 ……………………………………… (１６１) 參考答案 …………………………………………………………………… (１６３) § ５各高校研究生入學考試原題 …………………………………… (１６３) 參考答案 …………………………………………………………………… (１７０) １７１ ／ 第六章 線性空間 § ６基本題型及其常用解題方法 …………………………………………… (１７１) § ６線性空間的判定與證明 ………………………………………… (１７１) § ６基、維數(shù)的計算、判定與證明 …………………………………… (１７３) § ６求過渡矩陣 ……………………………………………………… (１７８) § ６求坐標 …………………………………………………………… (１８１) § ６直和的判定與證明 ……………………………………………… (１８２) § ６子空間的相關問題 ……………………………………………… (１８４) § ６同構的判定與證明 ……………………………………………… (１８５) § ６例題選講 ………………………………………………………………… (１８６) § ６線性空間的判定與證明的例題 ………………………………… (１８６) § ６基、維數(shù)的計算、判定與證明的例題 …………………………… (１８７) § ６求過渡矩陣的例題 ……………………………………………… (１８８) § ６求坐標的例題 …………………………………………………… (１８８) § ６直和的判定與證明的例題 ……………………………………… (１９０) § ６子空間的相關問題的例題 ……………………………………… (１９１) § ６練習題 …………………………………………………………………… (１９２) § ６北大與北師大版教材習題 ……………………………………… (１９２) 參考答案 …………………………………………………………………… (１９３) § ６各高校研究生入學考試原題 …………………………………… (１９３) 參考答案 …………………………………………………………………… (２００) ２０１ ／ 第七章 線性變換 § ７基本題型及其常用解題方法 …………………………………………… (２０１) § ７線性變換(映射)的判定與證明………………………………… (２０１) § ７求線性變換的矩陣 ……………………………………………… (２０２) § ７線性變換(矩陣)對角化的判定與證明………………………… (２０４) § ７特征值與特征向量的計算、判定與證明 ……………………… (２０７) § ７矩陣的特征值、特征向量與相似的性質及其應用 …………… (２１２) § ７不變子空間的判定與證明 ……………………………………… (２１３) § ７象與核及其維數(shù)的計算、判定與證明 ………………………… (２１７) § ７例題選講 ………………………………………………………………… (２２０) § ７線性變換的判定與證明的例題 ………………………………… (２２０) § ７求線性變換的矩陣的例題 ……………………………………… (２２２) § ７線性變換(矩陣)對角化的判定與證明的例題………………… (２２５) § ７特征值與特征向量的計算、判定與證明的例題 ……………… (２２７) § ７矩陣的特征值、特征向量與相似的性質及其應用的例題 …… (２２９) § ７不變子空間的判定與證明的例題 ……………………………… (２３３) § ７象與核及其維數(shù)的計算、判定與證明的例題 ………………… (２３５) § ７練習題 …………………………………………………………………… (２３７) § ７北大與北師大版教材習題 ……………………………………… (２３７) 參考答案 …………………………………………………………………… (２４０) § ７各高校研究生入學考試原題 …………………………………… (２４０) 參考答案 …………………………………………………………………… (２５５) ２５６ ／ 第八章 λ－矩陣與*小多項式 § ８基本題型及其常用解題方法 …………………………………………… (２５６) § ８求 λ－矩陣的標準形 …………………………………………… (２５６) § ８求不變因子 ……………………………………………………… (２５７) § ８求初等因子 ……………………………………………………… (２５９) § ８求矩陣的若爾當標準形 ………………………………………… (２６１) § ８*小多項式的計算 ……………………………………………… (２６２) § ８矩陣相似與對角化的判定與證明 ……………………………… (２６４) § ８例題選講 ………………………………………………………………… (２６７) § ８求 λ－矩陣的標準形的例題 …………………………………… (２６７) § ８求不變因子的例題 ……………………………………………… (２６７) § ８求初等因子的例題 ……………………………………………… (２６７) § ８求矩陣的若爾當標準形的例題 ………………………………… (２６８) § ８*小多項式的計算的例題 ……………………………………… (２６９) § ８矩陣相似與對角化的判定與證明的例題 ……………………… (２７１) § ８練習題 …………………………………………………………………… (２７２) § ８北大與北師大版教材習題 ……………………………………… (２７２) 參考答案 …………………………………………………………………… (２７５) § ８各高校研究生入學考試原題 …………………………………… (２７５) 參考答案 …………………………………………………………………… (２７９) ２８０ ／ 第九章 歐式空間 § ９基本題型及其常用解題方法 …………………………………………… (２８０) § ９歐式空間的應用 ………………………………………………… (２８０) § ９求度量矩陣 ……………………………………………………… (２８１) § ９歐式空間的判定與證明 ………………………………………… (２８２) § ９標準正交基(組)的計算與判定………………………………… (２８３) § ９正交變換的判定與證明 ………………………………………… (２８５) § ９對稱變換的判定與證明 ………………………………………… (２８７) § ９正交補的計算、判定與證明 …………………………………… (２８８) § ９例題選講 ………………………………………………………………… (２８９) § ９歐式空間應用的例題 …………………………………………… (２８９) § ９求度量矩陣的例題 ……………………………………………… (２９０) § ９歐式空間的判定與證明的例題 ………………………………… (２９１) § ９標準正交基(組)的計算與判定的例題………………………… (２９３) § ９正交變換的判定與證明的例題 ………………………………… (２９４) § ９對稱變換的判定與證明的例題 ………………………………… (２９６) § ９正交補的計算、判定與證明的例題 …………………………… (２９８) § ９練習題 …………………………………………………………………… (３００) § ９北大與北師大版教材習題 ……………………………………… (３００) 參考答案 …………………………………………………………………… (３０２) § ９各高校研究生入學考試原題 …………………………………… (３０２) 參考答案 …………………………………………………………………… (３０７)