目錄前言版前言 第1章 常微分方程數值解 1 1.1 常微分方程初值問題的理論基礎 1 1.2 Euler方法 3 1.2.1 顯式Euler方法 3 1.2.2 隱式Euler方法 4 1.3 梯形方法 8 1.4 Runge-Kutta方法 9 1.4.1 Runge-Kutta方法簡介 9 1.4.2 Runge-Kutta方法的構造 11 1.5 單步法的收斂性與相容性 16 1.5.1 單步法的收斂性 16 1.5.2 單步法的相容性 18 1.6 一般線性多步法 19 1.6.1 待定系數法 20 1.6.2 數值積分法 21 1.7 一般線性多步法的收斂性和穩定性 24 1.7.1 線性差分方程的基本性質 24 1.7.2 收斂性和穩定性 26 習題1 29 第2章 橢圓型方程的有限差分方法 31 2.1 五點差分格式 31 2.1.1 差分格式的建立 32 2.1.2 差分格式解的存在性 34 2.1.3 差分格式的求解 36 2.1.4 差分格式解的收斂性和穩定性 37 2.1.5 數值計算與Matlab模擬 40 2.2 邊界條件離散化 442.2.1 矩形區域 44 2.2.2 一般區域 44 2.3 先驗估計 46 習題2 49 第3章 拋物型方程的有限差分方法 52 3.1 擴散方程 52 3.1.1 定解區域的離散 53 3.1.2 差分格式 53 3.1.3 顯式差分格式和隱式差分格式 55 3.1.4 Richardson差分格式 56 3.1.5 Richardson差分格式的不穩定性 57 3.1.6 Grank-Nicolson格式 58 3.2 收斂性與穩定性 58 3.2.1 截斷誤差 59 3.2.2 差分格式的收斂性 60 3.2.3 差分格式的穩定性 62 3.2.4 差分格式穩定性的方法 63 3.3 數值模擬 65 習題3 67 第4章 雙曲型方程的有限差分方法 68 4.1 引言 68 4.2 波動方程的差分格式 72 4.2.1 波動方程顯式差分格式的建立 73 4.2.2 波動方程隱式差分格式的建立 75 4.3 數值模擬 79 4.4 一階雙曲方程 80 4.4.1 迎風格式 81 4.4.2 積分守恒的差分格式 82 4.4.3 數值模擬 86 習題4 87 第5章 分數階微積分的相關概念及算法 89 5.1 分數階微積分的定義和性質 89 5.1.1 Grünwald-Letnikov(G-L)分數階導數 89 5.1.2 Riemann-Liouville(R-L)分數階積分和分數階導數 91 5.1.3 Caputo分數階導數 935.1.4 Riesz分數階導數 93 5.1.5 幾種分數階導數的關系 94 5.1.6 分數階導數的性質 95 5.2 分數階微積分的數值算法 95 5.2.1 Riemann-Liouville分數階導數的G-L逼近 95 5.2.2 Caputo分數階導數的L-算法 97 5.2.3 Riemann-Liouville分數階積分的數值逼近 103 5.3 經典整數階數值微分、積分公式的推廣 106 5.3.1 經典向后差商及中心差商格式的推廣 106 5.3.2 插值型數值積分公式的推廣 108 5.3.3 經典線性多步法的推廣:Lubich(魯必切)分數階線性多步法 109 習題5 112 第6章 分數階常微分方程的數值方法 113 6.1 直接法 114 6.2 間接法 119 6.2.1 R算法 119 6.2.2 分數階預估-校正方法 119 習題6 122 第7章 分數階偏微分方程的數值方法 124 7.1 空間分數階對流-擴散方程 124 7.2 時間分數階偏微分方程 128 7.2.1 差分格式 128 7.2.2 穩定性分析(Fourier-von Neumann方法) 129 7.2.3 誤差分析 130 7.3 時間–空間分數階偏微分方程 132 7.3.1 差分格式 132 7.3.2 穩定性及收斂性分析 134 習題7 136 第8章 譜方法 138 8.1 Fourier譜方法 138 8.1.1 指數正交多項式 138 8.1.2 一階波動方程的Fourier譜方法 139 8.2 Chebyshev譜方法 141 8.2.1 Chebyshev多項式 141 8.2.2 Gauss型積分的節點和權函數 1428.2.3 數值分析 142 8.2.4 數值模擬 144 8.3 熱傳導方程的應用 145 8.3.1 模型的分析與建立 145 8.3.2 模型的改進 147 習題8 149 第9章 有限元方法 150 9.1 變分形式 150 9.1.1 Sobolev空間Hm(I) 150 9.1.2 a(u，v)基本性質 153 9.2 有限元法 156 9.2.1 Ritz-Galerkin法 156 9.2.2 有限元法構造 158 9.3 有限元法的誤差估計161 9.3.1 H1估計 161 9.3.2 L2估計 162 9.4 二次元 164 9.4.1 單元插值函數 164 9.4.2 有限元方程的形成 167 9.5 橢圓型方程邊值問題的有限元法 168 9.5.1 變分原理 168 9.5.2 Ritz-Galerkin方法 170 9.5.3 有限元法 170 9.6 拋物型方程初邊值問題的有限元法 174 習題9 179 參考文獻 181