完美數與斐波那契序列 節選

第1章 完美數的歷史 能找到的完美數不多，好比人類一樣，要找一個完美的人亦非易事.——(法國)勒內 笛卡爾 1.1 何為完美數? 2000年，美國的克萊數學研究所提出了“千禧年數學問題”，共有七個難題，并承諾為每個難題的解決給予100萬美元的獎賞.克萊(Landon Clay，1926—2017)是波士頓商人，他創辦的數學研究所宗旨是“提升和傳播數學知識”.僅僅過了三年，其中的龐加萊猜想就被數學家佩雷爾曼(Grigori Perelman，1966—)攻克.又過了三年，在馬德里召開的第25屆國際數學家大會上，國際數學聯盟授予佩雷爾曼數學領域的*高獎——菲爾茲獎，但他自認為已經從數學研究中獲得足夠的樂趣，故而拒絕領獎.稍后，他也拒絕了獎金豐厚的千禧年獎. 也是在2000年，意大利數學家、伽利略獎和皮亞諾獎獲得者皮 奧迪弗雷迪(P. Odifreddi，1950—)出版了《數學世紀——過去100年間30個重大問題》一書，闡述了20世紀取得重大突破的30個數學問題或進展，其中純粹數學15個、應用數學10個、數學與計算機5個.*后，他提出了未解決的4個難題，首先就是“完美數問題”，另外3個是黎曼猜想、龐加萊猜想和 P=NP 問題.奧迪弗雷迪曾執教米蘭大學和美國康奈爾大學，現為都靈大學的數理邏輯學教授，其哲學和政治觀點趨近于羅素(Bertrand Russell，1872—1970)和喬姆斯基(Noam Chomsky，1928—). 完美數(Perfect number，希臘語)，又譯為完全數或完備數，是指這樣的正整數，它自身以外的因子(真因子)之和恰好等于其本身.或許古埃及人已對此類數感興趣了，對此我們無法予以證實.但人們相信，公元前6世紀的古希臘數學家畢達哥拉斯(Pythagoras，約前580—前500)已經做過這方面的研究了，他知道6和28是完美數，這是因為 6=1+2+3， 28=1+2+4+7+14. 畢達哥拉斯聲稱，“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其和等于自身.” 從定義可以看出，一個自然數 n 是完美數當且僅當它滿足方程 圖1.1畢達哥拉斯像 (1.1) 這里Σ是求和符號.若用希臘字母sigma來記，即，則(1.1)等價于 (1.2) 《圣經 舊約》首卷《創世紀》里提到，上帝用6天的時間創造了世界，第7天是休息日.1世紀成書的《論創造》是亞歷山大的菲羅(Philo Judaeus或Philo of Alexandria，約前15—約50)的著作，這位操希臘語的猶太哲學家在書中聲稱，世界是在6天內創造出來的，月亮圍繞地球旋轉所需的時間是28天.后來，希臘神學家、圣經學家奧利金(Origen，約185—約254)和*博學的苦行者、盲人狄迪摩斯(Didymus the Blind，約313—約398)補充道，只有4個完美數小于10000. 圖1.2 圣奧古斯丁像 5世紀初，古羅馬哲學家、神學家圣奧古斯丁(Saint Augustine，354—430)在他的名著《上帝之城》中進一步寫道：“6這個數本身就是完美的，并不因為上帝造物用了6天；事實上，因為這個數是一個完美數，所以上帝在6天之內就把一切事物都造好了.” 那以后，完美數尤其是數字6對人類就有了特殊的含義和吸引力.例如，19世紀的美國詩人薩克斯(J. G. Saxe，1816—1887)依據古印度的寓言故事，寫成了一首詩《盲人與大象》，傳遍了世界.這首詩的開頭是這樣寫的， 六個印度斯坦男人 學習常常各有偏見 (雖說眼睛都已瞎了) 一次他們去看大象 各人用自己手觸摸 心里頭以為有把握 他們得出的結論分別是：身體像一堵墻，牙齒如標槍，鼻子像一條蛇，耳朵如扇子，大腿像一棵樹，尾巴如粗繩. 1919年出版的英國作家毛姆(W. S. Maugham，1874—1965)的小說《月亮和六便士》，取材于法國畫家高更(Paul Gauguin，1848—1903)的故事，逃避現實的主題使之成為流行小說，成為文學史的經典之作.1968年，美國導演庫布里克(Stanley Kubrick，1928—1999)拍攝了鴻篇巨制《2001：太空漫游》，被公認為是引人深思的偉大影片之一.這部影片改編自科幻小說，虛構了人類登陸八億公里以外木星的計劃，主要人物也是6位，他們是大衛船長、飛行員弗蘭克、機器人HAL9000和三位冬眠的宇航員. 1.2 《幾何原本》 古希臘有兩個歐幾里得，一個是公元前5世紀后期蘇格拉底的學生、麥加拉哲學學派創立者 Euclid of Magara，另一個是我們熟知的有著“幾何學之父”美譽的數學家歐幾里得(Euclid of Alexandria)，他生活在公元前4世紀和前3世紀之交，雖說我們不知道他的生卒年和出生地，但確信他曾在雅典的柏拉圖學園求學，后來執教于亞歷山大大學數學系. 歐幾里得的代表作《幾何原本》(Elements)主要講幾何學，但第7—9章是關于算術即數論的，包括給出前述完美數的定義，書中得到了偶數是完美數的一個充分條件，即 若p和均為素數，則 (1.3) 必定是完美數. 圖1.3 19世紀的歐幾里得塑像。現藏牛津大學博物館 圖1.4 《幾何原本》英文版（1570） 為了證明(1.3)，我們先來給出上節定義的數論函數σ(n)的計算公式，同時論證它是可乘函數，也即對于任意互素的正整數m和n，恒有 首先，若n=p是素數，則顯然它只有1和p兩個因子， 其次，若n=pk，則n的每個因子必為形如pi的整數，此處故而，由等比級數的求和公式， 再次，設n是兩個不同素數的乘積，n=pq，則n的所有因子為1，p，q和pq，故而，現在，假設m和n是互素的正整數，若d|mn，則由數論的整除性質可知，必定存在唯一的正整數dm和dn，dm|m，dn|n，滿足d=dmdn.事實上，我們可以取dm=(d，m)，dn=(d，n).反之，若dm|m，dn|n，則由(m，n)=1，可知dmdn|mn.因此， σ(n)的可乘性得證. 有了σ(n)的可乘性，我們就可以得到它的計算公式 同時得知，(1.3)滿足(1.2)，||表示剛好整除. 歐幾里得的證明因為和互素，即，故由σ(n)的可乘性，可求得的一切因子之和為. 圖1.5 柏拉圖的弟子阿契塔 上述完美數的充分條件及其證明出現在《幾何原本》第9章，屬于命題36(*后一個命題)，在同一章的命題20，歐幾里得證明了素數有無窮多個.另一方面，相傳早在公元前4世紀，畢達哥拉斯學派的信徒、數學力學的奠基人阿契塔(Archytas，活動時期在公元前400—前350)就已經知道了這個充分條件.阿契塔是哲學家柏拉圖(Plato，公元前427—前347)的摯友，曾擔任希臘軍隊總司令一職，也被認為是風箏的發明者. 值得一提的是，《幾何原本》中譯本是在1607年出版的，由意大利傳教士、漢學家利瑪竇(M.Ricci，1552—1610)和明代學者徐光啟(1562—1633)合作翻譯.可惜他們只譯出前6章.全譯本要等到1857年才出版，后9章由英國傳教士、漢學家偉烈亞力(A. Wylie，1815—1887)和清代數學家李善蘭(1811—1882)合譯.也就是說，直到那時，中國人才知道完美數.據說當年譯完前6章時，徐光啟余興未了，要求譯到第9章，利瑪竇未予同意.否則的話，我們祖先會早4個世紀就知道完美數和素數的那些事了. 1.3 尼科馬科斯 自從誕生以來，完美數就有著一種誘人的魔力，吸引著眾多的數學家和業余愛好者，他們像淘金者一樣，永不停歇地去尋找.接下來發現的第3個和第4個完美數分別是496和8128，大約在公元100年，新畢達哥拉斯學派成員尼科馬科斯(Nicomachus，約60—約120)寫下了名著《算術引論》( Introduction to Arithmetic)，提到了這兩個完美數，這是現存*早的文字記錄. 在《算術引論》一書中，尼科馬科斯還提出了有關完美數的5個猜想，這些也是關于完美數*早的猜想： 圖1.6 《算術引論》的阿拉伯文譯本(901)，敘利亞數學家泰比特譯，現藏大英圖書館 1)第n個完美數是n位數; 2)所有的完美數都是偶數; 3)完美數交替以6和8結尾; 4)《幾何原本》中完美數的充分性也是必要的; 5)存在無窮多個完美數. 這其中，1)和3)后來被證明是錯誤的，4)被18世紀的瑞士數學家歐拉(L. Euler，1707—1783)證明了2)和5)，即今天所指的完美數問題. 尼科馬科斯出生于羅馬帝國敘利亞行省的杰拉什(Gerasa)，因此他被稱為Nicomachus of Gerasa.事實上，公元前4世紀，古希臘出過一個叫尼科馬科斯的畫家，只是作者既沒見到過他的作品，也不知兩個尼科馬科斯是否有血緣關系.