概率論與數(shù)理統(tǒng)計 節(jié)選

第1章 隨機事件與概率 　　本章先重點介紹概率論的兩個*基本的概念:隨機事件與概率，然后討論古典概型、幾何概型及其概率計算，并在此基礎上介紹條件概率、乘法公式、全概率公式與貝葉斯公式，*后討論隨機事件的獨立性. 　　1.1 隨機事件 　　一、隨機現(xiàn)象與統(tǒng)計規(guī)律性 　　在自然界和人類社會生活中存在著兩種現(xiàn)象.一類是在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，例如，太陽從東方升起，這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.另一類則是事先無法預知其結果的現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象.例如，在相同條件下拋同一枚硬幣，其結果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，但在拋擲之前無法確定其結果. 　　隨機現(xiàn)象又分為個別隨機現(xiàn)象和大量性隨機現(xiàn)象.個別隨機現(xiàn)象一般不能在相同的條件下重復出現(xiàn)，例如歷史事件;而大量性隨機現(xiàn)象可以在相同的條件下重復出現(xiàn)，例如拋硬幣.本書中的隨機現(xiàn)象一般是指大量性隨機現(xiàn)象. 　　隨機現(xiàn)象在大量重復試驗或觀察中所表現(xiàn)出來的固有規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性.它是隨機現(xiàn)象本身所蘊含的內(nèi)在規(guī)律，概率論就是要研究和揭示這種統(tǒng)計規(guī)律，并指導社會實踐. 　　二、樣本空間與隨機事件 　　對隨機現(xiàn)象的研究必然要聯(lián)系到對客觀事物進行“調(diào)查”“觀察”或“實驗”，以后我們統(tǒng)稱之為(隨機)試驗(experiment，trial)，一般我們用E來表示，并假定這種“試驗”可以在相同條件下重復進行，且試驗的所有可能結果在試驗之前都可以明確知道，但試驗之前不能確定將會發(fā)生哪一個結果. 　　我們感興趣的是試驗的結果.例如擲一次硬幣，我們關心的是出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面，這是所有可能出現(xiàn)的結果.假如我們考察的是擲兩次硬幣的試驗，則所有可能出現(xiàn)的結果有四種:(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).為了研究隨機試驗，首先需要知道這個試驗所有可能出現(xiàn)的結果.這些結果稱為樣本點(sample point)，一般用表示.樣本點的全體構成樣本空間(sample space)，用-表示. 　　下面舉一些例子. 　　例1.1.1 在研究英文字母使用情形時，樣本空間可為有限集-=f空格. 　　例1.1.2 觀察一小時內(nèi)落在地球上某一區(qū)域的粒子數(shù)，樣本空間可為自然數(shù)集. 　　例1.1.3 討論某地區(qū)的氣溫時，樣本空間可取為.如果已經(jīng)知道該地區(qū)的溫度不會低于T0，也不會高于T1，則可取.當然也可取樣本空間為，其中x為*低溫度， y為*高溫度.此時為R2的一個區(qū)域. 　　例1.1.4 考察地震震源時，可以把樣本點取為(x;y;z)，其中x表示震源的經(jīng)度，y表示緯度，z表示深度.此時，樣本空間為R3的一個區(qū)域. 　　例1.1.5 金融分析師把道 瓊斯指數(shù)作為研究對象，每日的指數(shù)漲跌用一條曲線表示，這就是一個樣本點，此時樣本空間是函數(shù)空間，這是隨機過程(stochastic process)的研究對象. 　　從以上例子可以看出，隨著問題的研究對象不同，樣本空間也就有不同選擇.對于一個實際問題或一個隨機現(xiàn)象，如何選擇用一個恰當?shù)臉颖究臻g非常重要.在很多概率問題中，一般沒有明確指出樣本空間，但是所有的概率問題都是在一個確定的樣本空間中討論的.請讀者在后面的討論中弄清概率問題所在的樣本空間. 　　一般地，稱試驗E的樣本空間-的子集為E的隨機事件，簡稱事件.此處關于事件的定義一般對為有限集適用，如果-為無限集，則需要嚴格的定義;見1.2節(jié).在某次試驗中，如果事件A中某一個樣本點出現(xiàn)，則稱事件A發(fā)生.事件常用大寫字母A;B;C等表示. 　　考慮兩個特殊的隨機事件和對任何一次試驗，-必然發(fā)生，因此稱樣本空間-為必然事件.而空集不包含任何樣本點，故稱空集為不可能事件.特別地，由一個樣本點構成的單點集，稱為基本事件. 　　三、事件的關系和運算 　　事件是樣本空間的子集，因而事件間的關系與事件的運算自然按照集合之間的關系和集合運算來處理.下面根據(jù)“事件發(fā)生”的含義，給出它們在概率論中的含義. 　　設試驗E的樣本空間為，而是事件的子集.我們先討論事件的基本運算. 　　(1)事件的和(并).稱或為事件A與事件B的和.事件發(fā)生當且僅當A與B中至少有一個發(fā)生. 　　類似地，稱為n個事件A1;A2; ;An的和，為可列個事件A1;A2; 的和. 　　(2)事件的積(交).稱為事件A與事件B的積. 　　事件發(fā)生當且僅當A與B同時發(fā)生.也簡記為AB. 　　類似地，稱為n個事件A1;A2; ;An的積，為可列個事件A1;A2; 的積. 　　(3)事件的差.稱且為事件A與事件B的差.事件A.B發(fā)生當且僅當A發(fā)生但B不發(fā)生. 　　特別地，記，并稱之為A的補或者A的對立事件，即A發(fā)生當且僅當A不發(fā)生. 　　下面我們討論事件的關系: 　　(1)包含關系.若A.B，則稱事件B包含A，即事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生. 　　(2)相等關系.若A.B且B.A，即A=B，則稱事件A與B相等.顯然，相等的兩事件必然同時發(fā)生或同時不發(fā)生. 　　(3)互斥關系.若，則事件A和B是互不相容的或互斥的，即事件A和B不可能同時發(fā)生.若A和B是互斥的，則記. 　　類似地，若n個事件A1;A2; ;An是兩兩互斥的，則記;若可列個事件A1;A2; 是兩兩互斥的，則記. 　　圖1.1.1直觀地表現(xiàn)了以上事件的運算與關系. 　　在進行事件運算時，經(jīng)常要用到下述定律.設A，B，C為事件，則有以下結論. 　　交換律. 　　結合律. 　　德 摩根(DeMorgan)律: 　　圖1.1.1 事件的運算與關系 　　例1.1.6 若A;B;C為三個事件. 　　(1)這三個事件都發(fā)生可以表示為ABC. 　　(2)這三個事件恰好發(fā)生一個可以表示為ABC+ABC+ABC. 　　(3)這三個事件恰好發(fā)生兩個可以表示為ABC+ABC+ABC. 　　(4)這三個事件中至少發(fā)生一個可以表示為或ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC;還有一種看似復雜的表示:ABC，請讀者自己理解. 　　(5)A發(fā)生而B與C都不發(fā)生可以表示為ABC或. 　　(6)A與B都發(fā)生而C不發(fā)生可以表示為ABC或. 　　習題1.1 　　1.寫出下列各試驗的樣本空間及指定事件所含的樣本點. 　　(1)將一枚硬幣拋擲三次， 　　(2)將一顆骰子擲兩次，. 　　(1)試述ABC的含義;(2)在何情形下?(3)在何情形下? 　　3.設A1;A2;A3;A4為某試驗中的四個事件，試用事件的運算表達如下事件: 　　(1)四個事件中至少有一個發(fā)生;(2)恰好發(fā)生兩個事件; 　　(3)至少發(fā)生三個事件;(4)至多發(fā)生一個事件. 　　4.擲一顆骰子，記事件 　　試表述下列事件:(1)AB;(2)ABC;(3);(4);(5). 　　5.試表述下列事件的對立事件: 　　(1); 　　(2); 　　(3). 　　6.在區(qū)間[0;1]中任取一點x，記試表示如下諸事件: 　　(1)(2) (3). 　　7.試證明以下事件的運算公式. 　　1.2頻率與概率 　　概率是什么？人們對概率這個數(shù)學術語不一定清楚，卻往往有意或無意地使用它.對于問題“明天是否會下雨”，有人會說“我有80%的把握斷定明天不會下雨”;對于購買福利彩票的人來說，關心投入一定資金后獲得頭獎的可能性有多大?這些問題都涉及隨機事件的概率. 　　對于一個隨機事件(除必然事件和不可能事件外)，它在一次試驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，但它發(fā)生的可能性大小是客觀存在的.我們希望知道某些事件在一次試驗中發(fā)生的可能性究竟是多大.為此，我們首先引入頻率，并用它描述事件發(fā)生的頻繁程度，進而引出事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的度量——概率. 　　一、頻率 　　定義1.2.1(頻率)在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)稱為事件A發(fā)生的頻數(shù).比值稱為事件A發(fā)生的頻率(frequency)，并記為fn(A). 　　由定義，易見頻率具有下述基本性質(zhì): 　　(1); 　　(2); 　　(3)若事件A1;A2; ;Ak兩兩互不相容，則 　　由于事件A發(fā)生的頻率是它發(fā)生的次數(shù)與試驗次數(shù)之比，其大小表示事件A發(fā)生的頻繁程度，且頻率越大，事件A發(fā)生就越頻繁，即事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性就大;反之亦然.因而，直觀的想法是能否用頻率來表示事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性的大小.請看“拋硬幣”這個試驗. 　　例1.2.1 將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次，各做10遍，得到數(shù)據(jù)如表1.2.1所示，其中nH表示出現(xiàn)正面的頻數(shù)，fn(H)表示出現(xiàn)正面的頻率. 　　從這些數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn):拋硬幣次數(shù)n較小時，頻率fn(H)在0與1之間擺動幅度較大，但隨著n的增大，頻率fn(H)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，fn(H)總是在0:5附近擺動，而且逐漸趨近于0:5. 　　大量試驗證實，當試驗次數(shù)n很大時，事件A的頻率幾乎穩(wěn)定地趨近于一個常數(shù)p.頻率的這種性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性，它是事件本身所固有的.我們從頻率的穩(wěn)定性出發(fā)，給出表征事件發(fā)生可能性大小的概率的定義. 　　表1.2.1 拋硬幣試驗