**章 概率論述要………………………………………………………………………… １ §１．１ 隨機變量 ………………………………………………………………………… １ §１．１．１ 概率空間……………………………………………………………… １ §１．１．２ 分布…………………………………………………………………… ４ §１．１．３ 期望與方差…………………………………………………………… ４ §１．１．４ 例……………………………………………………………………… ５ §１．２ 隨機向量………………………………………………………………………… １６ §１．２．１ 聯合分布 …………………………………………………………… １６ §１．２．２ 協方差與協方差矩陣 ……………………………………………… １７ §１．２．３ 例 …………………………………………………………………… １７ §１．３ 極限定理………………………………………………………………………… ２６ §１．３．１ 可積性與不等式 …………………………………………………… ２７ §１．３．２ Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ不等式 ………………………………………………… ２７ §１．３．３ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ大數定律 ………………………………………………… ２８ §１．３．４ ＢｏｒｅｌＣａｎｔｅｌｌｉ引理 ………………………………………………… ２９ §１．３．５ 例 …………………………………………………………………… ３１ §１．３．６ 極限與期望交換 …………………………………………………… ３５ §１．４ 中心極限定理…………………………………………………………………… ３５ §１．５ 特征函數………………………………………………………………………… ３７ §１．６ 矩母函數及母函數……………………………………………………………… ４０ 習題 ……………………………………………………………………………………… ４３ 第二章 隨機過程預備知識 ……………………………………………………………… ４６ §２．１ 條件期望………………………………………………………………………… ４６ §２．１．１ 事件域與可測性 …………………………………………………… ４６ §２．１．２ 條件概率與條件期望 ……………………………………………… ４８ §２．１．３ 理解條件期望 ……………………………………………………… ５５ §２．２ 隨機過程………………………………………………………………………… ５９ §２．２．１ 定義 ………………………………………………………………… ５９ §２．２．２ 樣本軌道 …………………………………………………………… ６０ §２．２．３ 常見的隨機過程 …………………………………………………… ６３ 習題 ……………………………………………………………………………………… ６６ 第三章 離散時間馬氏鏈 ………………………………………………………………… ６８ §３．１ 隨機游動………………………………………………………………………… ６８ §３．１．１ 格點軌道與反射原理 ……………………………………………… ６９ §３．１．２ 對稱簡單隨機游動 ………………………………………………… ７１ §３．２ 馬氏鏈的基本定義……………………………………………………………… ７５ §３．３ ＣｈａｐｍａｎＫｏｌｍｏｇｏｒｏｖ方程與狀態的分類 …………………………………… ８２ §３．３．１ ＣｈａｐｍａｎＫｏｌｍｏｇｏｒｏｖ方程 ……………………………………… ８２ §３．３．２ 狀態之間的關系 …………………………………………………… ８４ §３．３．３ 狀態的分類 ………………………………………………………… ８４ §３．４ 犘狀 的極限性質與平穩分布 …………………………………………………… ９５ §３．４．１ 基本極限定理 ……………………………………………………… ９５ §３．４．２ 平穩分布 …………………………………………………………… ９７ §３．５ ＧａｌｔｏｎＷａｔｓｏｎ分支過程 …………………………………………………… １０４ 習題……………………………………………………………………………………… １０８ 第四章 犘狅犻狊狊狅狀過程 …………………………………………………………………… １１５ §４．１ 預備知識 ……………………………………………………………………… １１５ §４．２ Ｐｏｉｓｓｏｎ過程的定義…………………………………………………………… １１７ §４．３ 來到間隔與等待時間的分布 ………………………………………………… １１９ §４．４ 來到時間的條件分布 ………………………………………………………… １２２ §４．５ 非齊次Ｐｏｉｓｓｏｎ過程………………………………………………………… １２６ §４．６ 復合Ｐｏｉｓｓｏｎ過程 …………………………………………………………… １３１ 習題……………………………………………………………………………………… １３５ 第五章 更新過程………………………………………………………………………… １４１ §５．１ 基本定義 ……………………………………………………………………… １４１ §５．２ 犖（狋）的分布與更新函數 ……………………………………………………… １４２ §５．２．１ 犖（狋）的分布 ……………………………………………………… １４２ §５．２．２ 更新函數…………………………………………………………… １４３ §５．３ 極限定理與停時 ……………………………………………………………… １４４ §５．３．１ 停時………………………………………………………………… １４５ §５．３．２ 基本更新定理……………………………………………………… １４７ §５．４ 關鍵更新定理及其應用 …………………………………………………… １４９ §５．４．１ 更新定理…………………………………………………………… １４９ §５．４．２ 關鍵更新定理的應用……………………………………………… １５０ 習題……………………………………………………………………………………… １５２ 第六章 鞅………………………………………………………………………………… １５５ §６．１ 公平游戲與鞅 ………………………………………………………………… １５５ §６．２ 鞅基本定理 …………………………………………………………………… １５８ §６．２．１ 停時………………………………………………………………… １６０ §６．２．２ Ｗａｌｄ等式 ………………………………………………………… １６１ §６．２．３ 首次通過時………………………………………………………… １６２ §６．３ 在金融中的應用 ……………………………………………………………… １６８ §６．３．１ 模型無關的定價定理……………………………………………… １６８ §６．３．２ 二叉樹模型………………………………………………………… １７３ §６．３．３ 美式買入期權……………………………………………………… １７５ 習題……………………………………………………………………………………… １７６ 第七章 犅狉狅狑狀運動……………………………………………………………………… １７８ §７．１ Ｂｒｏｗｎ運動的定義 …………………………………………………………… １８０ §７．２ Ｂｒｏｗｎ運動的性質 …………………………………………………………… １８０ §７．３ Ｂｒｏｗｎ運動的其他性質 ……………………………………………………… １８６ §７．３．１ 首中時與*大值變量……………………………………………… １８６ §７．３．２ 反正弦律…………………………………………………………… １８８ §７．４ 例 ……………………………………………………………………………… １８９ §７．５ 粗糙軌道 ……………………………………………………………………… １９２ §７．６ Ｂｒｏｗｎ運動與鞅 ……………………………………………………………… １９６ 習題……………………………………………………………………………………… ２００ 參考文獻…………………………………………………………………………………… ２０２